수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

곡선 위의 점을 주지 않아도 접선 두 개를 구할 수 있다

주어진 점과 접점이 다른 접선 문제에서 미지 접점을 먼저 둔다.

곡면 위성 반사판과 앞쪽으로 뻗은 금속 지지대

사진: Deavmi · CC BY-SA 3.0 · 원본 출처

y=x2,P(0,−1)y=x^2,\qquad P(0,-1)

P를 지나는 곡선의 접선을 모두 구하라. P의 x좌표가 0이라고 f′(0)f'(0)을 먼저 써도 될까?

P는 곡선 위의 점이 아니다. 접점의 x좌표를 t로 두면

y−t2=2t(x−t)y=2tx−t2−1=−t2⇒t=±1 \begin{aligned} y-t^2&=2t(x-t)\\ y&=2tx-t^2\\ -1&=-t^2\quad\Rightarrow\quad t=\pm1 \end{aligned}

따라서 y=2x−1y=2x-1, y=−2x−1y=-2x-1 두 개다. 접점은 각각 (1,1), (−1,1)이다.

답 두 개를 확인하는 세 줄

  • 기울기: 각 접점에서 f′(t)=2tf'(t)=2t와 같다.
  • 접점: 직선과 곡선이 (1,1), (−1,1)을 각각 지난다.
  • 주어진 점: 두 직선에 x=0을 넣으면 y=−1이다.

t=0으로 고정한 접선 y=0은 P를 지나지 않는다. 주어진 점과 접점을 다른 색으로 표시하면 학생이 어느 좌표를 미분에 넣었는지 바로 드러난다.

함수값과 기울기를 각각 읽는 해외 문항에서 착안해, 여기서는 필요한 접점을 미지수로 두고 외부점 통과 조건으로 결정했다.

출처·착안: Derivative Practice – Graphs. 문항과 풀이는 새로 작성했다.