3도 5도 갈 수 있는데, 왜 3만 쓰고 멈추면 안 될까요? 백개먼의 한 턴을 종이 판 두 장으로 비교해 봐요. 내 말 14개는 이미 판 밖으로 내렸고, 남은 말 하나가 14번 칸에 있어요. 잡혀 대기 중인 내 말은 없으며, 주사위 눈은 3과 5입니다. 숫자가 작은 칸으로 움직여요.
11번과 9번 칸은 비어 있어요. A판의 6번에는 상대 말 두 개가 있고, B판은 그 두 말을 치워 6번도 비운 별도 판이에요. 나머지 상대 말은 이 세 칸에 없어요. 상대 말 둘 이상이 있는 칸에는 도착할 수 없고, 각 눈은 따로 한 번씩 적용해요.
한 눈만 적용한 도착 칸들의 집합을 F₁, 두 눈을 모두 적용한 도착 칸들의 집합을 F₂라 해 볼까요? 한 눈의 계산과 두 눈의 끝은 다음과 같아요.
A판에서는 3→5와 5→3 어느 순서도 마지막 6번이 막혀요. 따라서 F₁={9,11}이지만 F₂=∅입니다. ∅는 원소가 없는 공집합이에요. 각 눈은 따로 쓸 수 있으나 두 눈을 모두 쓰기는 불가능할 때는 큰 눈을 써야 해요. 5>3이므로 14→9로 끝내야 해요.
B판에서는 14→11→6과 14→9→6이 모두 가능해 F₂={6}입니다. 이때는 두 눈을 모두 써야 하므로 9번에서 멈추는 것도 금지된다. 두 판의 최종 칸은 각각 9와 6입니다.
각 판에 이동 화살표와 턴을 마치는 칸을 서로 다른 색으로 표시해 볼까요? 한 번 갈 수 있다는 사실만으로 그 칸에서 턴을 끝낼 수 있지는 않아요. 실제 경기의 전체 이력이나 승률을 판단하는 활동은 아니에요.
착안: USBGF, Backgammon Basics: How To Play의 이동·두 눈 사용 규칙. 막힌 끝 칸을 비운 두 종이 판의 비교는 별도로 구성했어요.