물 100g을 넣고 소금물 100g을 덜면, 순서를 바꿔도 같을까요? 처음 용액은 200g이고 그 안의 소금은 20g입니다. 같은 두 작업을 한 번씩 하되, 최종 질량비가 6% 이하인 순서를 골라 볼까요? 이 한도는 문제에서 정한 값이에요.
매번 소금은 완전히 녹고 고르게 섞여 있다고 가정해요. 넣는 물에는 소금이 없고 증발·침전도 없어요. M은 현재 용액 전체의 질량(g), S는 소금의 질량(g)입니다. 농도는 물만의 질량이 아니라 용액 전체를 분모로 한 100S/M(%)로 정해요.
물 넣기를 A, 현재 용액 100g 덜기를 D라 쓸게요. 균일한 용액에서 100g을 덜면 소금도 (100S/M)g 함께 빠져요. 이번 계산에서 D는 M>100일 때만 써요.
먼저 덜면 원래 200g의 절반이 빠져 (M,S)=(100,10)이 돼요. 그 뒤 물을 넣으면 (200,10), 농도는 5%입니다. 반대로 물부터 넣으면 (300,20)입니다. 여기서 100g을 덜면 소금은 20/3g 빠지고 40/3g 남아요. 마지막 상태는 (200,40/3)입니다.
두 결과 모두 용액은 200g이지만 5≤6<20/3이므로 덜고 넣는 순서만 조건에 맞아요. 합성은 앞 작업의 결과를 다음 작업의 입력으로 쓰는 일이에요. 덜 때의 분모가 200과 300으로 달라진다는 점까지 표시하면 순서 차이를 설명할 수 있어요. 모든 혼합 작업의 최적 순서나 실제 조제·실험 결과를 주장한 것은 아니에요.
착안: University of Hawaiʻi CRDG, Practices of Science: Parts per Notation. 용질 질량을 용액 전체 질량으로 나누는 뜻만 참고했어요. 두 작업·수치·6% 한도·순서 선택은 자체 조건이며 원전 실험을 수행한 것이 아니에요.