반 칸씩 엇갈린 벽지 무늬를 작은 직사각형 한 장으로 반복하고 싶어요. William Morris Gallery는 한 줄 건너 무늬가 어긋나는 반복을 설명해요. 여기서는 실제 벽지 대신 같은 크기의 점만 찍은 종이 도안을 써요. 가로·세로로 옮겨 복제할 수 있고, 회전·반사나 점 수정은 금지해요.
점의 집합을 P라 해 볼까요? x·y의 단위는 cm, 정수 n은 줄 번호, 정수 m은 그 줄의 자리 번호예요. 아래 식이 모든 정수 m·n에서 만드는 점 전부가 P입니다. 사진에서 보이는 줄만으로 전체 반복을 추측하는 문제가 아니에요.
y=0인 줄에는 x=0,6,12,…, y=4인 줄에는 x=3,9,15,…가 있고 y=8에서는 처음 줄과 맞아요. 음의 번호에서도 같은 규칙이에요. 후보는 가로×세로 6×4, 3×8, 6×8cm입니다. 어느 조각을 골라야 원래 도안을 그대로 반복할까요? 조각 안의 점은 0≤x<가로, 0≤y<세로로 잡아 경계 중복을 막아요.
공통수학2의 평행이동처럼 T의 아래첨자 a·b를 가로·세로 이동량으로 두고, T가 점 (x,y)를 (x+a,y+b)로 보낸다고 정해요. 복제 간격만큼 옮겨도 점 집합이 같아야 해요.
6×4는 세로 복제로 원래 없는 (0,4)를 만들고, 3×8은 가로 복제로 (3,0)을 만들어 탈락해요. 6×8은 m을 하나 늘리거나 n을 둘 늘려도 같은 배치가 돼요. 거꾸로 옮겨도 정수 번호가 남으므로 빠지는 점도 없어요. 한 조각에는 (0,0)과 (3,4) 두 점을 넣어요.
사선으로 (3,4)만큼 옮기는 반복도 가능하지만, 이번 복제 규칙에는 사선 이동이 없어요. ‘반복되는 이동 하나’를 찾았다면 가로·세로 이동도 각각 검사해 봐요. 원전 작품의 무늬나 실제 인쇄·시공 품질을 판정한 결과는 아니에요.
착안: William Morris Gallery, Working with Pattern, 지정 PDF5·6·12. 엇갈린 반복 관점만 참고했고 점 배치·세 후보·복제 조건은 자체 작성했어요. 원전 도판은 옮기지 않았어요.