제어점은 꼭 곡선 위에 놓이는 점이 아니에요. 곡선을 만드는 점이 틀 밖에 있으면 그림도 잘릴까요? SVG의 Q 명령이 끝점과 제어점을 구별하는 데서 착안해 두 후보를 골라 볼까요?
다음은 실제 프로그램 출력이 아닌 종이 좌표 모형이에요. 좌표의 단위는 cm, 위쪽이 양의 y방향이에요. 닫힌 틀은 0≤x≤2, 0≤y≤2이며 경계에 닿아도 돼요. 끝점 A=(0,0), D=(2,0)과 틀은 고정해요. 제어점 C_h=(1,h)는 h=4 또는5 중에서만 골라요. 선 두께·제어점 표식·보조선은 그림에 포함하지 않아요. 어느 후보의 곡선 전체가 틀에 남을까요?
곡선을 따라가는 매개변수 t의 범위는 0≤t≤1입니다. t는 시간이 아니에요. 이 활동의 곡선 B_h(t)를 다음처럼 정의하고, x_h와 y_h를 그 점의 가로·세로 좌표라 쓸게요.
실제로 t=0이면 A, t=1이면 D입니다. 가로 좌표 2t는 틀의 범위를 벗어나지 않아요. 세로는 두 후보 모두 음수가 아니므로 가장 높은 곳만 확인하면 돼요.
이차식을 완전제곱으로 바꾸면 모든 t에서의 상한과 그 상한을 얻는 위치가 함께 보여요.
제곱항은 0 이상이고, 두 후보 모두 t=1/2에서 0이 돼요. 따라서 C_4를 고르면 최고점은 (1,2)로 틀 위쪽에 정확히 닿고, 나머지도 0≤y≤2입니다. C_5는 (1,5/2)가 틀을 넘어 실패해요. 답은 C_4입니다.
C_4=(1,4) 자체는 틀 밖이지만, 곡선의 점으로 그리는 대상은 아니에요. 제어점까지 넣으라는 조건을 덧붙이면 두 후보 모두 탈락해요. 지금은 끝점만 확인하거나 제어점 위치로 판정하지 않고, 정해진 식이 그리는 곡선 전체를 확인한 거예요.
착안: W3C SVG2의 quadratic Bézier curve commands. Q의 끝점·제어점 구별만 참고했어요. 좌표·틀·두 후보·매개변수 식은 자체 활동이며 원전 예시 코드·그림이나 실제 앱의 잘림 결과를 옮기지 않았어요.