음수를 빼는 교구 활동에서는 영쌍부터 모두 없애야 할까요? 교사는 흰 조각 한 개를 +1, 검은 조각 한 개를 −1로 정하고 두 판을 보여 줘요. A에는 흰 조각 5개와 검은 조각 3개, B에는 흰 조각 2개만 있어요. 두 판은 모두 2를 나타내요. 각각에서 −4를 빼되, 새로 넣는 조각 쌍을 가장 적게 만드는 시범을 골라 봐요.
흰 조각 수를 p, 검은 조각 수를 n이라고 해 볼까요? 영쌍은 흰 것과 검은 것 하나씩 묶은 것으로 값이 0입니다. 각 판의 값을 V라고 쓰면
준비 중에는 영쌍을 추가하거나 없애는 것만 허용해요. 한 조각만 넣거나 색을 바꿀 수 없어요. ‘−4를 뺀다’는 마지막에 검은 조각 4개를 실제로 꺼내는 동작이에요.
준비 중 새로 더한 영쌍의 총수를 k, 없앤 영쌍의 총수를 j라고 해 볼까요? 둘은 0 이상의 정수이며 검은 조각은 n+k−j개예요. A와 B의 추가 수를 각각 k_A, k_B라 쓰면, 제거할 4개를 확보하려면
A에서는 영쌍 1개를 더하면 흰 6개·검은 4개가 돼요. 검은 4개를 꺼내면 흰 6개가 남아요. B에서는 영쌍 4개를 더해야 같은 배치가 되어 역시 6이 남아요. 각각의 하한을 실제로 달성했으므로 최소 추가 수는 1쌍과 4쌍, 새 조각 수는 2개와 8개예요.
A의 영쌍 3개를 먼저 없애면 바로 B가 돼요. 값은 바르게 간단해졌지만, 그 뒤 준비할 새 영쌍은 3쌍 늘어나요. 교사는 답 6을 쓰게 하기 전에 두 판에서 실제로 부족한 검은 조각 수를 표시하게 할 수 있어요. 식을 간단히 하는 것과 특정 제거 동작을 준비하는 것은 같은 작업이 아니에요. 이 과제는 두 배치만 비교하며 학생의 학습 효과를 측정한 사례가 아니에요.
착안: Didax, Hot and Cold: Activities for Integer Operations. 원전의 영쌍과 교구 제거 관점으로 자체 두 판·준비 규칙·교사 질문을 작성했어요. 원문 자료나 그림은 옮기지 않았어요.