로고의 두 직선 사이를 포물선 하나로 매끈하게 이을 수 있을까요? 곡선의 양 끝만 맞춰도 두 접속부가 꺾이지 않는 것은 아니에요. 접선의 기울기를 나타내는 도함수도 함께 확인해 볼까요?
이것은 실제 CAD 출력이 아닌 종이 설계예요. 가로 x와 세로 y의 단위는 cm이고, 곡선은 0≤x≤2에서 함수 y=f(x)의 그래프다. 끝점 (0,0)·(2,0)과 왼쪽 직선 y=x는 고정해요. 오른쪽은 A안 y=−(x−2), B안 y=−2(x−2) 중 하나예요. 각 직선은 연결점 바깥쪽에 이어져요. 여기서 매끈함은 연결점의 높이와 양쪽 기울기가 같다는 뜻이에요. 곡률 일치는 요구하지 않아요.
2차 이하의 다항식 하나를 쓸 때 두 안 중 어느 것이 가능할까요? q의 실수 계수 a·b·c를 정해요. q′는 q의 도함수이며 끝점에서 접선의 기울기예요. 끝점 두 곳과 왼쪽 기울기부터 대입하면
따라서 다른 포물선을 더 찾아볼 여지가 없어요. 결정된 q의 오른쪽 기울기는 −1이므로 A안과 맞지만 B안의 −2와는 달라요. 선형식도 같은 세 조건을 만족하지 못해요.
B안의 두 직선을 고정한 채 3차 이하로 허용 범위만 넓히면 다음 g가 실제 연결을 만들어요.
g는 양 끝 높이와 기울기 네 조건을 모두 맞춰요. 2차 이하가 불가능했으므로 B안에는 최소 3차가 필요해요. 답은 ‘포물선이면 A만, B는 삼차식 g로 가능’입니다. 그림을 그리기 전에 끝점 조건과 접선 조건을 따로 대입해, 모양을 바꾸는 선택과 허용 차수를 늘리는 선택을 구별하는 과제예요.
착안: Autodesk Alias 2026, Continuity G0 G1 G2 G3. 연결점과 접선 방향을 구별하는 설명만 참고했어요. 좌표·직선 두 안·다항식·최소 차수 논증은 자체 구성이에요. 실제 도구의 허용오차·곡률 평가나 제품 제작 결과를 재현하지 않아요.