두 나무 블록을 한 상자에 담으려 해요. A는1×2×4cm, B는1×3×3cm입니다. 상자의 안쪽 세 변은 양의 정수cm이고 벽·완충재 두께는0으로 둬요. 블록은 변형하지 않으며, 각 변이 상자 변과 평행하도록90° 회전하고 이동할 수 있어요. 내부 겹침은 금지하지만 면·변·꼭짓점 접촉은 허용해요.
상자의 긴 변부터L≥W≥H라 쓰고, 긴 변에 나머지 두 변의 둘레를 더한M을 최소화해 보세요. 최소값을 달성하는 상자 치수도 모두 구해 볼까요? USPS의 길이·둘레 정의에서 착안한 자체 cm 모형이며 실제 우편 접수·운임·제품 추천은 판단하지 않아요.
A의4cm 변 때문에L≥4, B의 두3cm 변 때문에W≥3이라는 일차부등식을 얻어요. 두 블록의 부피 합은8+9=17이므로 다음 조건도 필요해요.
H≥2이면M≥4+6+4=14입니다. H=1이면W=3일 때 부피 조건에서L≥6이므로M≥14이고, W≥4일 때도L≥W≥4여서M≥14입니다. 더 작은 값은 불가능해요.
4×3×2 상자에는4×2×1로 돌린A를 바닥에, 3×3×1로 돌린B를 그 위에 놓을 수 있어요. 따라서
다른 최소 상자도 있을까요? H≥2에서 등호가 되려면4×3×2뿐이에요. H=1에서M=14이면6×3×1 또는4×4×1인데, 후자는 부피16으로 제외돼요. 전자에는 각각의 블록은 들어가요. 그러나 높이1 때문에 두 블록은 같은 층을 써야 해요. A의 바닥은4×2, B는3×3입니다. A의4cm 변은 폭3cm 방향으로 갈 수 없어요. 긴 방향 길이 합7>6, 짧은 방향 합5>3이므로 어느 방향으로도 서로 떨어뜨릴 수 없어 내부가 겹쳐요.
답은4×3×2뿐이에요. 유일한 것은 상자 치수이며 블록의 위치까지 유일하지는 않아요. 교사는 부피가 충분한6×3×1에서 왜 실패하는지 두 방향의 구간을 그려 설명하게 해요.
착안: USPS, Parcel Size, Weight & Fee Standards의 Size Definitions. 긴 변과 나머지 둘레의 정의만 참고했어요. 블록·단위·정수 조건·배치 문항과 증명은 자체 구성했으며 원전 자료나 그림은 옮기지 않았어요.