나무의 가지 끝은 더 큰 각도로 올려다보이는 쪽이 높을까요? 평평한 땅에서 눈은 지면 위 1m이고 위치는 고정해요. 줄기 밑까지 수평거리는 8m입니다. 같은 수직평면에서 관측한 두 끝 A·B 중 높은 쪽만 골라요. 다른 가지나 나무 전체의 최고점은 판단하지 않아요.
눈에서 각 끝까지 비스듬한 거리 d는 A가 5m, B가 13m입니다. 수평선 위 예각을 각각 α·β라 하면 sinα=3/5, sinβ=5/13입니다. α>β라 눈에는 A가 더 위쪽 방향에 보여요. A를 그대로 고르는 방법과 각 끝의 거리·각도를 짝지어 높이를 계산하는 방법 중 어느 쪽이 맞을까요?
제공 교재의 직각삼각형에서 사인은 높이/빗변이에요. 눈보다 높은 수직거리는 d·sinθ이고 지면 기준 높이 H에는 눈 높이 1m를 더해요. 식의 거리와 높이는 m 단위예요.
답은 B입니다. 올려다보는 각도가 작아도 더 멀리 있어 지면 높이는 2m 더 높아요. 각도는 같은 눈에서 잰 방향이지 높이 자체가 아니에요.
탄젠트는 높이/수평거리다. 두 각에 줄기까지의 8m를 공통으로 넣으면 A는 7m, B는 13/3m라 순위까지 뒤집혀요. 예각의 코사인으로 각 끝의 실제 수평거리 x도 복원하자.
A에는 4m, B에는 12m를 짝지으면 1+4·(3/4)=4, 1+12·(5/12)=6으로 같은 답이 나와요. 탄젠트가 틀린 것이 아니라 거리의 목표점을 바꾸면 안 되는 거예요. 교사는 끝 이름·대응 거리·계산 높이를 함께 받아, 각도만 고른 답과 잘못 짝지은 거리의 답을 구별해요.
착안: USDA Forest Service, The Sine Method: An Alternative Height Measurement Technique의 완전한 수학 설명 절과 두 방법 비교 절을 읽었어요. 각 가지 끝과 대응하는 거리를 써야 한다는 원리에서 출발한 자체 두 점 사례예요. 원문 그림·표·실측 자료는 옮기지 않았어요.