투명한 블록의 윗면에 출구 표시를 붙이면, 옆에서 들어온 빛이 어느 표시로나 빠져나올 수 있을까요? 입구를 고정한 종이 광선 모형에서 가능한 표시 위치 전체를 찾아봐요.
단위는 cm이고 블록은 0≤x≤1, 0≤y≤1입니다. 바깥 굴절률은 1, 블록은 정확히 5/4로 정해요. 빛은 P=(0,3/4)에서 오른쪽 위로 들어와요. 첫 투과광이 윗면 Q=(u,1)에 처음 닿아 공기 쪽으로 나가는 경우만 세어요. 0<u<1이며 다른 반사 경로와 빛의 폭은 제외해요.
i는 입구 법선인 수평선과 외부 입사광의 각, r은 내부 광선과 수평선의 각이에요. o는 윗면 법선인 수직선과 출사광의 각이에요. i와 o는 모두 0°보다 크고 90°보다 작아야 해요. 면을 따라가는 빛은 통과 성공에 넣지 않아요.
PQ의 세로차는 1/4입니다. 교재의 삼각비와 스넬 법칙으로 같은 내부 방향을 두 경계에 연결하면 다음 식을 얻어요. 윗면에서 내부 입사각은 90°−r입니다.
입구에서 가능한 각만 구하면 부족해요. w와 u가 양수이므로 두 사인값이 1보다 작다는 조건을 각각 제곱해 정리해요.
답은 이 열린 구간이에요. 그 안의 모든 u에서는 두 사인값이 0과 1 사이여서 해당 예각을 정할 수 있고, 선분 PQ도 먼저 윗면에 닿아요. u=3/16은 입사광이 옆면에 평행하고, u=1/3은 출사광이 윗면에 평행하므로 제외해요.
표시를 u=1/4에 두면 두 사인값이 모두 5/(4√2)<1이라 가능해요. u=1/2는 입사는 가능하지만 출사에 필요한 사인값이 √5/2>1이라 윗면에서 전반사해요. 단순히 광선과 윗면의 교점을 찍는 것과 그곳에서 빠져나오는 것을 구별한 거예요.
착안: University of Maryland, Reflection and Refraction of Light — Planar Surfaces의 완전한 이론 절과 전반사 절. 알려진 법칙만 참고한 자체 좌표 모형이며 원전 실험·도판·실제 재료의 굴절률이나 장치 성능을 보고하지 않았어요.