한 사람이 혼자 안건을 통과시키지 못하면서, 세 사람 모두 표결 결과를 바꿀 기회는 남기려면 가결 기준을 몇 점으로 정할까요? 가중치를 고정한 가상 위원회의 규정 세 개를 비교해 봐요.
A·B·C의 표는 각각 4·2·1점이에요. 각자는 찬성 또는 반대하며 자기 점수를 전부 한쪽에 내요. 기권·분할표는 없어요. V={A,B,C}, 찬성자 집합은 V의 부분집합 S입니다. s(S)는 찬성 점수의 합, q는 가결에 필요한 최소 점수예요. 자체 후보 q=4·5·6만 쓰며 등호도 가결이에요. 첫 식의 1표시는 그 아래 조건이 참이면 1, 거짓이면 0입니다.
교재의 원소나열법으로 모든 찬성 집합을 적으면 빠진 경우를 확인할 수 있어요.
| S | s(S) |
|---|---|
| ∅ | 0 |
| {A} | 4 |
| {B} | 2 |
| {C} | 1 |
| {A,B} | 6 |
| {A,C} | 5 |
| {B,C} | 3 |
| {A,B,C} | 7 |
‘결과를 바꿀 기회’는 실제로 설득할 확률이 아니에요. 위원 i를 뺀 다른 찬성자 T를 그대로 두고, i만 반대에서 찬성으로 바꿀 때 부결이 가결로 바뀌는 경우가 하나라도 있다는 뜻이에요. w_i는 i의 점수예요.
q=4는 A가 혼자 4점으로 가결하므로 첫 목표에서 탈락해요. q=6은 혼자 통과할 수 없지만 C가 결과를 바꿀 수 없어요. A·B의 합은 0·2·4·6 중 하나예요. C의 1점을 더해도 처음 세 합은 6에 못 미치고, 6은 이미 가결이에요.
q=5에서는 혼자 받은 최대 4점으로 가결할 수 없어요. A는 B만 찬성한 2점을 6점으로, B는 A만 찬성한 4점을 6점으로, C는 같은 4점을 5점으로 바꿔요. 각 비교에서 다른 두 사람의 표는 고정됐어요. 따라서 두 목표를 함께 만족하는 후보는 5점뿐이에요. 세 사람의 영향력이 같다는 결론은 아니에요.
착안: Stanford CS106B, Voting Power의 결정적 표 정의. 알려진 정의를 참고해 자체 가중치·세 규정과 두 목표를 구성했어요. 원전의 과반 예시·지수 계산·코드 과제를 재현하거나 실제 위원회 규정의 공정성을 판정하지 않았어요.