두 반이 같은 전시 프로그램을 함께 골라요. 하나의 안을 확정할 때보다 추첨을 쓰면, 두 반의 평균 점수의 곱이 커질까요? 점수는 순위가 아니라 더하고 평균 낼 수 있는 가상 수치예요. 두 반은 같은 추첨 결과를 함께 따라요.
| 계획 | 첫 반 점수 | 둘째 반 점수 |
|---|---|---|
| A | 6 | 1 |
| B | 2 | 4 |
| C | 4 | 2 |
A,B,C를 뽑을 확률을 각각 a,b,c라 해요. 모두0 이상이고 합은1이며 다른 계획은 없어요. U,V는 각 반 점수의 기댓값이에요. 교재의 기댓값처럼 점수에 해당 확률을 곱해 더해요. 이번 평가값 J는 두 기댓값의 곱으로 정해요.
A만 고르면 J=6, B나 C만 고르면 J=8입니다. 단일안의 최고는8입니다. 그러나 혼합을 허용하면 평균점수쌍도 바뀌어요. U,V는 모두 양수이고0≤c≤1이므로3U+4V는20 이상22 이하예요. 두 수의 합과 차를 제곱한 항등식으로, 모든 추첨의 상계를 한 번에 얻어요.
상계의 등호에는 c=0과3U=4V가 동시에 필요해요. a+b=1을 함께 풀면 a=5/12,b=7/12 하나만 남아요. 서로 같은 가능성을 가진 표12장 중5장을 A,7장을 B로 만들면 이 답을 실제 추첨 규칙으로 구성할 수 있어요. C는 B와 단일안 곱이 같지만 최적 추첨에는 쓰지 않아요. 최고값121/12는8보다 커요.
각 회차의 두 점수를 곱한 뒤 평균내는 다른 값 K는6a+8b+8c입니다. 위 추첨에서 K=43/6이며 J와 달라요. 공동 추첨을 독립인 두 추첨으로 바꾸어 계산하지 않아요. 학생은 확률표, 두 평균, 평가값을 순서대로 검산해요. 실제 반의 선호 조사나 가장 공정한 배분을 판정한 결과는 아니에요.
착안: Nobel Prize, The Work of John Nash in Game Theory — Bargaining Theory의 완전 해당 절. 두 이익의 곱을 평가하는 고전 배경만 참고했어요. 세 전시안 점수와 공동 추첨·평가 목표·상계 및 구성은 자체 교육용이에요. 원문 효용의 공리·협상 모형을 이 가상 점수표의 실제 선호나 공정성 증거로 쓰지 않았어요.