둘 다 반시계로 도는데, 안쪽 점에서 본 바깥 점은 시계로 움직일 수 있을까요? 실제 행성 대신 자체 좌표로 확인해 볼까요?
길이 단위는 cm, t는 초 단위의 경과시간 수치이며 각도는 라디안이에요. 바깥 점 P는 반지름2에서 각속도1로 돌아요. 관측점 E는 반지름1에서 돌며 A는 각속도2, B는4입니다. δ는 두 공전각의 차이고 그 값이 한 바퀴인 구간만 봐요.
방향각 θ는 E에서 P로 잇는 벡터 D의 각이에요. 방에 고정한 가로축에서 반시계로 누적하며 한 바퀴에서0으로 잘라 쓰지 않아요. 두 공전각의 차 δ와는 달라요. D=(u,v)라 놓으면 θ′=(uv′−vu′)/(u²+v²)입니다. 좌표를 미분해 대입하면 분모는5−4cosδ≥1이어서 방향이 사라지지 않아요.
θ′<0인 모든 시계방향 구간을 갖는 후보를 고르고 멈추는 두 경계를 표시해 볼게요. α는0부터π 사이에서 cosα=4/5인 유일한 각이에요.
A의 분자는6(1−cosδ)라 음수가 없어요. δ=0에서만 방향 변화가 잠시0입니다. B는 분자가8−10cosδ라 위의 두 구간에서는 음수, 두 경계에서는0, 나머지에서는 양수예요. 따라서 B를 골라요. 실제 시간의 두 정지 경계는α/3과(2π−α)/3초이며, 그 순간은 시계방향 구간에 넣지 않아요. 시작0은 음수 구간에 포함하고 한 주기의 끝2π/3초는 제외해요.
교사는 관측선을 그린 뒤 부호를 계산하게 해요. 두 점의 공전 방향, 공전각의 차, 관측선의 방향을 같은 각으로 적지 않아요. 이 답은 주어진 두 등속 원운동만 판정하며 실제 천체의 역행 날짜나 케플러 운동을 예측하지 않아요.
착안: Royal Museums Greenwich, Solar System quick facts의 공전 방향·주기 두 절. 자체 좌표 과제이며 원문 도판은 옮기지 않았어요.