네모 바퀴 두 개의 축이 같은 높이로 가면, 항상 같은 각도만큼 돌게 연결할 수 있을까요? 한 변2인 바퀴를 서로 닿지 않는 평행한 두 노면에서 굴리는 종이 모형이에요. 노면의 봉우리 위치를 맞추고 미끄러짐은 없어요.
길이는 자체 단위, 각은 라디안이에요. u는 한 구간의 가운데에서 잰 수평 좌표, f(u)는 노면 높이예요. 아래 노면을 폭2b마다 반복하면 각 중심 높이는0입니다. α는 바닥에 닿는 변의 수평선에 대한 각이며, 오른쪽으로 갈 때 시계 방향으로 줄어들어요.
노면의 접선과 바퀴 변의 기울기가 같아 탠젠트 식을 얻어요. 양변을 미분하면(1+tan²α)α′=−(eᵘ+e⁻ᵘ)/2입니다. 이를 정리한 α′는 수평 이동 한 단위당 회전량이에요. 변이 바뀌면 α를 π/4에서 다시 표기해요. 새 구간마다 π/2를 빼서 이어 센 전체 회전각을 Φ라 해요. 양끝 회전율도 같아서 이어져요.
s는 뒤 바퀴 중심의 수평 좌표, D는 앞뒤 중심의 진행 방향 좌표차다. D=b와2b 중 하나를 골라요. 1:1연결은 처음 각도차를 자유롭게 맞추되 이후 두 각도 증분이 항상 같다는 조건이에요. 따라서 Φ(s+D)−Φ(s)가 일정해야 해요.
D=2b에서는 같은 노면 위치를 한 구간 뒤에서 만나므로 π/2 차이를 처음 맞추면 계속 함께 돌아요. D=b에서는 출발점의 두 회전율이 달라 고정 각도차가 바로 변해요. 답은2b입니다. 교사는 축높이 확인 뒤 두 위치의 회전율을 적게 해요. 실제 자전거의 연결 방식·힘·성능을 검증한 결과는 아니에요.
착안: Macalester College, Why do catenaries work for the square wheel?의 완전한 두 쪽. 원전의 노면·구름 관계를 배경으로 두 간격의 연결 조건을 자체 구성했으며 도판·실제 운행 자료는 옮기지 않았어요.