같은 위치에서 같은 속력으로 출발하면 중심 원을 모두 피할까요? ESA의 중심력 궤도 설명에서 착안한 종이 모형으로, 원점에서 거리1보다 안쪽을 지나지 않는 모든 출발 방향을 찾아볼까요? 경계에 닿는 것은 허용해요.
길이·시간은 자체 단위이고 t≥0은 출발 뒤 경과시간이에요. 위치 p=(x,y), 원점거리 r=|p|이며, r>0에서 가속도는 −p/r³입니다. 원점에 닿으면 종료해요. 처음 위치는(2,0), 속도는(cosθ,sinθ)/√2입니다. θ는 양의x축에서 반시계로 잰 라디안 각이며0≤θ<2π입니다. 점은 출발 뒤 조종하지 않아요.
글자 위의 점은 시간미분이에요. 중심방향 가속도라 에너지E와 각운동량L은 일정해요. 아래 E는 속력제곱의 절반에서1/r을 뺀 값, L은 위치와 속도의 성분으로 정의해요.
속도를 반지름 성분 r˙와 옆 성분 L/r로 나누어 제곱합을 E에 넣고 완전제곱하면 마지막 식이에요. r˙²≥0이므로 r은 두 근 사이에 있어요. L≠0이면 타원 전체를 계속 돌아 양끝 반지름을 실제로 지나고, 원운동이면 두 근이2로 일치해요.
따라서 가까운 반지름이1 이상일 조건은 |cosθ|≤1/2로, 답은 표시한 두 닫힌 구간이에요. θ=π/3에서는1까지 내려와 접하고, π/2에서는거리2로 돌아요. π/6에서는2−√3<1이라 탈락해요. θ=0,π의 직선운동도 원점에 닿기 전에1 안쪽을 지나 탈락해요.
학생은 방향별 L을 먼저 써서 가장 가까운 반지름과 경계 접촉을 검산해요. 모두 E=−1/4여도 답은 같지 않아요. 실제 위성의 발사·운항이나 충돌 안전을 판정하는 계산은 아니에요.
출처·착안: Two-body Problem