한 점을 켠 그림을 두 번 갱신해도 남기려면 네 칸과 다섯 칸 중 어느 띠를 쓸까요? Northwestern CCL의 Rule90 설명에서 착안해, 양끝을 이웃으로 잇는 작은 종이 그림을 비교해요. 실제 전광판이나 프로그램을 실행한 결과는 아니에요.
칸 수 n은4 또는5, 번호 i는0부터 n−1입니다. 번호가 n만큼 다르면 같은 칸이며 양끝도 서로 이웃이에요. 그림 x의 i번째 값 xᵢ는 꺼짐0·켜짐1입니다. 양 이웃이 다르면 새 값1, 같으면0으로 써요. ⊕는 이 연산이고, 한 번 갱신하는 함수가 Tₙ입니다. 모든 칸은 같은 직전 그림을 읽어 동시에 바뀌어요.
Tₙ²는 Tₙ을 두 번 합성한 함수예요. 두 번째 갱신의 이웃 값을 첫 식으로 펼치면 xᵢ가 두 번 들어가요. 같은 비트 두 개의 ⊕는0이므로 둘은 없어지고, 두 칸 떨어진 값끼리의 ⊕만 남아요. 정수의 덧셈으로 두 기여를2라고 세면 다른 규칙이 돼요.
네 칸에서는 i−2와 i+2가 같은 칸이에요. 그러므로 그 값이0이든1이든 두 번 뒤에는 모든 칸이0입니다. 한 점뿐 아니라16가지 초기 그림 전부가 지워져요.
다섯 칸에서0번만 켜면 첫 갱신에는1·4번, 다음에는2·3번이 켜져 남아요. 답은 다섯 칸 띠다. 학생은 각 출력칸으로 오는 두 경로를 표시하고, 같은 칸에 닿으면 두 기여가 상쇄되는지 확인해요. 다섯 칸의 모든 그림이 남는다는 뜻은 아니에요. 처음부터00000이면 계속0이며, 양끝 연결이나 동시 갱신을 바꾸면 이 계산을 그대로 쓸 수 없어요.
착안: Wilensky, U. (2002), NetLogo CA 1D Rule 90 model, Northwestern CCL. 네·다섯 칸 계산은 자체 종이 모형이에요.