승리 비율이 맞으면 경기 기록을 뽑는 카드도 제대로 만든 걸까요? 1654년 파스칼의 편지는 끝나지 않은 경기의 몫을 남은 결과에 따라 나눠요. 교실에서는 다음 자체 경기와 카드 묶음을 비교해 봐요.
매 판 A와 B가 각각 확률1/2로 이기며 판별 결과는 서로 독립이에요. 지금부터 A는 한 번, B는 두 번 이기면 즉시 끝내요. 지금부터의 종료 기록은 A, BA, BB뿐이에요. BA는 B가 이긴 뒤 A가 이겼다는 뜻이에요.
독립인 두 결과의 확률은 곱하므로 BA와 BB는 각각1/4입니다. A가 이기고 끝나는 기록은 A와 BA여서 승리 확률은3/4입니다.
한 카드에 종료 기록 하나를 적고, 같은 크기의 카드 중 한 장을 같은 확률로 뽑아요. U는 A,A,A,BB 네 장, V는 A,A,BA,BB 네 장이에요. 둘 다 A의 승리 확률은3/4입니다. 모든 종료 기록의 확률까지 재현하는 묶음을 고르고, 그런 묶음에 필요한 카드의 최소 수를 구해 볼까요?
U에는 BA가 없어 그 기록의 확률이0입니다. V는 세 기록의 확률이 각각1/2,1/4,1/4로 맞아요. 각 기록의 카드 수를 양의 정수 m_A,m_BA,m_BB라 하면 전체의 절반,4분의1,4분의1이어야 해요.
이는 필요한 조건이며 이대로 만들면 세 확률이 모두 맞아 충분해요. 전체는4k장이므로 최소4장이고, 최소일 때 기록별 개수는2,1,1로 유일해요. 카드의 놓인 순서는 여러 가지예요. 교사는 승자만 센 검산 옆에 BA가 나올 확률도 적게 해요.
착안: 파스칼이 페르마에게 보낸 1654년7월29일 편지 §2, Pulskamp 번역. 카드 구성과 비교 질문은 자체 작성했어요. 실제 경기나 도박 배당을 권하는 자료가 아니에요.