빗금 레일의 타원 그리기 기구에서 펜 위치만 바꾸면 원도 그릴 수 있을까요? 옥스퍼드 Wadham 도서관의 두 핀·고정 막대 설명에서 착안한 좌표 과제예요. 실물 실험은 아니에요.
원점에서60°로 만나는 두 레일은 양쪽으로 끝없이 뻗는다. 핀 A,B 사이 길이는4cm입니다. 좌표의 단위는cm이며 u,v는 각 레일의 부호 있는 거리예요. 펜 P의 위치 비율 t는 실수이고 움직임 내내 고정해요. t가0과1 사이가 아니면 막대의 가상 연장에 펜을 둬요. 목표는 중심이 원점이고 반지름2cm인 원 전체예요.
막대 길이의 제곱은 두 좌표 차의 제곱합이에요. 펜 좌표를(x,y)라 해 볼까요? t≠0,1이면 y에서 v=2y/(√3t), x에서 u=(x−y/√3)/(1−t)를 구해 길이 식에 넣을 수 있어요. 정리하면 펜의 자취 전체가 만족하는 식은
목표 원 위의 두 점(√2,√2), (−√2,√2)를 대입해 볼게요. 왼쪽 값의 차는 혼합항 때문에−8t/√3입니다. 두 점을 모두 그리려면 같은 오른쪽 값이 되어야 하지만 t≠0에서는 차가0이 아니에요. t=0이면 펜은 A의 직선 위, t=1이면 B의 직선 위에만 있으므로 역시 원 전체를 못 그려요. 따라서 펜 위치만 고치는 방법은 없어요.
레일을90°로 바꾸면 B=(0,v), 길이 조건은u²+v²=16입니다. 중점 t=1/2에서는x=u/2,y=v/2이므로x²+y²=4입니다. 반대로 이 원의 어느 점(x,y)든 u=2x,v=2y로 핀을 놓을 수 있어 원 전체가 그려진다. 두 축의 최대 거리를2로 맞추는 조건 |t|=|1−t|=1/2도 중점을 유일하게 정해요.
목표 원의 두 점으로 원 전체를 그릴 수 없다는 것을 확인한 뒤, 성공한 모형에서는 원 위의 어느 점에서든 핀 위치를 거꾸로 구해 봐요. 펜 위치를 옮기는 일과 레일의 각도를 바꾸는 일은 서로 다른 수정이에요.