앞·옆·위에서 모두 2×2 정사각형으로 보이는 블록 작품을 만들어 봐요. 그림만 맞추면 네 개로 되는데, 면끼리 이어진 한 덩어리라면 몇 개가 최소일까요?
한 변1인 블록의 여덟 자리 번호는 (x,y,z), x·y·z는 각각0 또는1입니다. 번호에서 각 축으로1만큼 뻗는 정육면체를 놓아요. 한 좌표만 다른 자리는 면을 공유해요. 모서리·꼭짓점 접촉은 연결로 세지 않아요. 회전이나 중력은 없는 자리 모형이에요.
정사영은 각 점을 평면에 수직으로 내린 그림이에요. 선·깊이 표시 없이, 겹친 블록은 한 칸으로 칠해요. 세 그림의 네 칸이 모두 칠해져야 해요.
한 그림에서 블록 하나가 한 칸을 채우므로 최소 네 개예요. x+y+z가 짝수인 네 자리는 세 그림을 채우지만, 서로 면을 공유하지 않아요.
빈 자리 둘이 한 좌표만 다르면 한 그림의 같은 칸이 비어 버려요. 홀짝이 다른 빈 자리 둘은 세 좌표가 모두 달라야 하며, 나머지 어느 자리도 그 둘 중 하나와 면을 공유해요. 따라서 빈 자리가 셋 이상이면 모두 같은 홀짝이에요. 네 블록은 서로 떨어지고, 다섯 블록은 한 블록이 셋과 붙어도 정반대의 하나가 떨어져요.
여섯 개는 가능해요. 000·111을 비우면 001→011→010→110→100→101→001로 연결돼요. 000·110을 비우면 010→011→001→101→100에 111을011에서 붙여요. 축을 바꾸거나0·1을 뒤집으면, 두 좌표 또는 세 좌표가 다른 모든 빈 쌍을 얻어요.
각 자리의 빈 짝은3개·1개예요. 최소 블록 수N과 배치 수C는
쌍은 두 번씩 세고, 추가 순서 대신 점유한 자리 집합을 세어요. 종이 위치표에서 그림과 면 연결을 각각 확인해 볼까요?
착안: Oregon DOT CAD Manual §202, PDF14. 블록 조건·분류는 자체 구성하며 원도판은 옮기지 않았어요.