얕게 흐르던 물이 갑자기 깊어지는 도수에서는 어떤 값을 보존해야 할까요? 텍사스 교통국은 운동량 함수가 같은 두 수심에서도 에너지가 손실된다고 설명해요. 같은 폭의 직사각형 수로를 배경으로 종이 모형을 계산해 봐요.
수심을 정한 길이 기준으로 나눈 무차원 수 y를 써요. 유량 계수를 고정하고, 정규화한 운동량 함수 M과 에너지 함수 E를 다음처럼 정의해요. E의 첫 항은 깊이, 둘째 항은 속도의 효과예요.
입구 수심은1입니다. 출구 수심 y는 양수이며1과 달라야 해요. 운동량 조건 M(y)=M(1)과 에너지가 늘지 않는 조건 E(y)≤E(1)을 모두 요구해요. 양수2y를 곱하고 교재의 인수분해로 삼차방정식을 풀면
−3은 수심이 아니고1은 변화 없음이에요. 그래서 출구는2 하나이며 에너지 손실은5/2−19/8=1/8입니다. 반대로 입구2에서 출구1을 택하면 운동량은 맞지만 에너지가1/8 늘어 허용되지 않아요. 같은 두 숫자여도 화살표 방향이 중요해요.
에너지를 보존한다고 E(y)=5/2만 풀면 어떻게 될까요? 양수2y²를 곱하면 (y−1)(2y²−3y−3)=0입니다. 다른 양의 근 z=(3+√33)/4는2보다 커요. 따라서 M(z)−7/2=(z−1)(z−2)(z+3)/(2z)>0이라 운동량 조건을 어겨요.
수심 후보 옆에 운동량 일치와 에너지 변화량을 따로 적어 봐요. 이 모형은 실제 도수가 생기는 위치나 수로 성능을 예측하지 않아요.
착안: TxDOT, Hydraulic Jump in Culverts. 수치와 비교 문항은 자체 구성이에요.