케이크를 조금씩 다르게 자르면 가장 큰 내 몫을 얻을 수 있을까요? 친구가 두 조각을 똑같이 좋아할 때 어느 쪽을 갖는지부터 정할게요.
자체 종이 케이크는 길이1인 [0,1]입니다. A가 위치x에서 한 번 자르고 B가 자기 가치가 큰 조각을 골라, 남은 것을 A가 가져요. 0≤x≤1이며 빈 조각도 허용해요. A의 가치는 조각 길이, B는 왼쪽 절반의 길이에2를 곱한 값이에요. 오른쪽 절반은 B에게 가치0, 끝점 한 점의 가치는 둘 다0입니다. 원전의 ‘A 기준으로 같은 가치로 자르기’ 조건은 이번 모형에서 요구하지 않아요.
동률이면 B가 왼쪽을 갖는 규칙을 ℓ, 오른쪽을 갖는 규칙을 r이라 해 볼까요? L과 R은 B의 왼쪽·오른쪽 조각 가치, u는 A가 받는 길이예요.
B의 두 값이 같은 위치는 유일하게x=1/4입니다. 그보다 왼쪽에서 자르면 B가 오른쪽을 골라 A는x를 얻고, 그보다 오른쪽에서는 B가 왼쪽을 골라 A는1−x를 얻어요. 두 규칙은 바로 이 동률 위치에서만 달라요.
ℓ에서는x=1/4가 유일한 최적 절단이고 몫은3/4입니다. r에서는 그 위치의 몫이1/4로 뛰어 내려가며, 어느 다른 위치에서도3/4를 얻지 못해요. 그러나 ε를 줄이면3/4에 얼마든지 가까워져요. x≤1/4라면1/2에서 잘라 몫을 늘리고, x>1/4라면x와1/4의 중간에서 잘라 늘릴 수 있어 최적 위치가 없어요.
교사는x=1/4와1/2의 실제 선택을 먼저 확인하게 해요. 가장 작은 공통 상한은 같아도 이를 얻는 절단이 있다는 결론은 달라요. 원전의 공평한 분배 보장이나 실제 선호 조사 결과를 부정한 사례가 아니에요.
착안: CMU, Mathematical Foundations of AI, Lecture8의 Cut-and-Choose. 조건·두 동률 규칙·문항과 풀이를 새로 작성했어요.