하천 측정점, 한 곳씩 최선을 고르면 두 곳도 최선일까요?

하천에서 유량을 잴 곳을 하나씩 가장 잘 고르면, 처음부터 두 곳을 함께 고른 계획만큼 정확할까요? NRFA는 평균 유속과 하천 단면적을 결합해 유량을 구한다고 설명해요. 실제 관측 대신 정답을 아는 종이 모형으로 선택 순서의 영향을 확인해 볼까요?

폭은1m입니다. u는 왼쪽 끝0부터 오른쪽 끝1까지의 무단위 좌표이고, 깊이는 f(u)m, 평균 유속은 어디서나1m/s입니다. 유량 Q와 오차 E는 m³/s로 나타낸 수치예요. 정적분으로 구한 Q를 정답으로 삼아요.

\begin{gathered}f(u)=u(1-u),\quad Q=\int_0^1 f(u)\,du=\frac16,\\0=u_0<\cdots<u_n=1,\quad h_i=u_i-u_{i-1},\\\widehat Q=\sum_{i=1}^n\frac{h_i[f(u_{i-1})+f(u_i)]}{2},\quad E=Q-\widehat Q=\frac16\sum_{i=1}^nh_i^3.\end{gathered}

양끝과 선택한 점들의 깊이를 재고, 이웃한 두 깊이를 직선으로 이어 만든 사다리꼴들을 더해 추정값을 구해요. n은 구간 수이고 h_i는 각 구간의 좌표 길이예요. 한 구간의 시작을 c, 구간 안 좌표를 t라 두면 f(c+t)=f(c)+(1−2c)t−t²입니다. 적분의 삼차항은−h_i³/3, 사다리꼴의 삼차항은−h_i³/2라 차이는 h_i³/6입니다. 전체 오차는 세제곱 합이에요.

순차 계획은 고른 점을 옮기지 않고, 매번 오차를 가장 많이 줄이는 새 점 하나를 추가해요. 길이 h를 양수 a,b로 나누면 오차 감소는 hab/2입니다. 합이 h인 두 길이의 곱은 같을 때 가장 크므로, 가장 긴 구간의 한가운데가 최선이에요.

처음에는1/2를 골라요. 두 번째는 길이가 같은 양쪽 구간 중 하나를 골라1/4 또는3/4입니다. 구간 길이는1/4,1/4,1/2가 돼요.

\begin{gathered}h^3-a^3-b^3=3hab\quad(a+b=h),\\E_{\rm sequential}=\frac5{192}>\frac1{54}=E_{\rm joint},\\\sum_{i=1}^3h_i^3-\frac19=\sum_{i=1}^3\left(h_i-\frac13\right)^2\left(h_i+\frac23\right)\ge0.\end{gathered}

반면 두 점을 함께 고르면 세 구간의 길이 합이1입니다. 마지막 식은 세제곱 합이 모두1/3일 때만 최소임을 보여요. 따라서 유일한 최선은1/3과2/3입니다. 각 단계의 최선도 앞선 선택을 고정하면 최종 최선과 달라질 수 있어요. 이 모형을 실제 하천의 측정 지침으로 쓰지는 않아요.

착안: NRFA, How are flows measured?.

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