동전이 치우치면 먼저 나올 무늬도 바뀔까요? 교사는 상대의 카드 HHT를 놓고, HHH와 THH 중 한 장을 고르게 해요. H는 앞면, T는 뒷면이에요. 앞면 확률 p는 0과1 사이의 알려진 수이며, 같은 p로 독립 시행해요. 카드 선택 뒤 한 기록을 계속 이어 쓰다가 두 카드 중 하나가 연속 세 글자로 처음 나타나면 멈춰요. 세 번씩 기록을 끊거나 다시 시작하지 않아요. 실제 동전 실험을 예측하는 자료는 아니에요.
각 카드가 상대보다 먼저 완성될 확률을 P_B와 P_C라 해 볼까요?
HHH를 고르면 처음 HH가 생긴 바로 다음 글자가 승자를 정해요. 다음이 H면 내 카드, T면 상대 카드라 확률은 p입니다. THH를 고르면 처음 두 글자가 HH였을 때만 상대가 이겨요. 그 경우 첫 T에서 HHT가 끝나요. 처음 두 글자가 HH가 아니면, 나중에 처음 생긴 HH 앞은 T라 THH가 먼저 끝나요. 따라서 상대의 확률 p²를1에서 빼요. 허용 p에서는 HHT가 결국 나타날 확률이1이므로 끝나지 않는 기록의 확률은0입니다.
어느 카드를 고를지와, 잘 골랐을 때 가장 불리한 p도 구해 볼까요? 두 확률의 차를 인수분해하고 큰 쪽을 W라 쓰면
p가 r보다 작으면 THH, 크면 HHH를 고르며 같으면 둘 다 가능해요. p≤r에서는1−p²≥r, p≥r에서는 p≥r이고, 등호는 p=r뿐이에요. 예컨대 p=1/2에서는 THH가3/4로 낫지만 p=4/5에서는 HHH가4/5로 나아요. 한 카드가 항상 유리하다고 적은 답을 이 두 값으로 검산해요. r은 선택 후 승리확률의 하한이며 유한한 횟수의 승리 약속은 아니에요. 확률0·1의 동전은 이 문제에 넣지 않아요.
착안: Ben Lynn의 Penney 게임 설명. 허용 두 카드·편향과 선택 경계는 자체 교육 모형이에요.