속삭임을 모으는 박물관 공간은 타원의 초점을 소개해요. 초점을 계속 지나는 광선이라면 처음 닿은 벽점에도 돌아올까요? 실제 소리 대신 타원 안의 점 광선으로 모든 첫 벽점을 분류해 볼까요?
좌표 단위는 cm입니다. 광선은 F−에서 출발해 첫 벽점 P(t₀)에 닿아요. 벽에서는 입사 방향을 그 점의 접선에 대칭시켜 반사하고, 그 밖에서는 직선으로 진행해요. 회절·손실·두께는 넣지 않아요. t는 시간을 뜻하지 않는 무차원 벽점 번호이며 ∞는 왼쪽 끝점의 별도 이름이에요.
반사 뒤에는 다른 초점을 지난다는 타원의 알려진 성질을 써요. 두 초점 방문과 벽점 방문은 같은 기록이 아니에요. 모든 첫 벽점에서 유한 번 반사 뒤 같은 벽점이 다시 나오는지, 계속 반사하면 어디로 가까워지는지 찾아봐요.
P(t)와 다음 P(s)를 잇는 현이 F+를 지나면 ts=−1/4, F−를 지나면 ts=−4입니다. 두 좌표를 현의 식에 넣으면 얻어요. 따라서 한 번씩 −1/(4t), −4/t로 바뀌고 두 번 뒤에는16t입니다. t₀가0도 ∞도 아니면 모든 기록은 다음과 같아요.
짝수 기록끼리는16의 서로 다른 거듭제곱이고 홀수 기록끼리도 모두 달라요. 짝수와 홀수의 부호는 반대여서 서로도 겹치지 않아요. 따라서 벽점은 한 번도 되풀이되지 않아요. 짝수 벽점은(−5,0), 홀수 벽점은(5,0)에 가까워지지만 유한 번에는 그 끝점에 닿지 않아요.
처음부터 t₀=0 또는 ∞면 두 끝점을 번갈아 방문해 두 번마다 돌아와요. 이 두 첫 벽점만 주기적이에요. t₀=1에서 다음 두 번호 −1/4,16을 확인하고, 초점을 다시 지나는 일과 벽점으로 돌아오는 일을 따로 표시해 볼게요.
착안: Griffin MSI, Whispering Gallery. 초점 배경만 참고한 자체 반사 모형이에요.