실이 번갈아 위아래로 지나는 직조에서 착안한 두 색 종이 모형이에요. 세 칸씩 세 줄을 칠해 가로·세로로 반복해요. 이웃이 늘 다른 색이 될까요? 실제 천의 품질은 묻지 않아요.
각 칸은 0 또는 1입니다. 오른쪽 끝은 왼쪽 첫 칸, 아래쪽 끝은 위쪽 첫 칸과 이웃해요. 한 칸에서 오른쪽과 아래쪽으로 향하는 연결을 각각 한 번 세면 총 열여덟 개예요. 같은 색끼리 만난 연결을 ‘어긋남’으로 세어요. 행·열 번호 r,c는 0,1,2이며 식의 번호는 3으로 나눈 나머지로 읽어요. 대괄호는 조건이 참이면 1, 아니면 0입니다.
세 칸을 돌아 처음 색으로 오려면 색이 바뀌는 횟수는 짝수여야 해요. 따라서 한 줄에서는 적어도 한 연결이 어긋나요. 세 행과 세 열에서 최소 여섯 곳이에요. 010/101/010의 세 줄은 실제로 여섯 곳만 어긋나므로 이 하한을 달성해요.
최소값을 만드는 조건은 모든 행과 모든 열에 두 색이 함께 나오는 거예요. 한 색뿐인 줄은 세 연결이 모두 어긋나고, 두 색이 있는 줄은 정확히 하나만 어긋나기 때문이에요.
그 배치는 몇 가지일까요? 두 색을 포함하는 세 칸짜리 줄은 여섯 가지이므로 행만 검사하면 216가지예요. 여기서 한 색뿐인 열을 제외해요. 특정 한 열이 한 색이면 그 색은 두 선택, 나머지 두 칸은 행마다 세 선택이므로 54가지예요. 특정 두 열의 색이 같으면 나머지 열은 반대색으로 고정되어 2가지예요. 두 열이 다른 색이면 색 배치는 두 선택, 나머지는 행마다 두 선택으로 16가지예요. 합하면 18가지예요. 세 열이 한 색씩 고정되면 섞인 행의 여섯 선택이 배치를 결정해요. 겹쳐 뺀 경우를 더하고 다시 겹친 경우를 빼면 다음과 같아요.
102가지는 칸의 위치와 두 색을 구별해 센 결과예요. 회전이나 색 교환으로 같아 보이는 무늬를 하나로 합친 수는 아니에요. 반복 경계까지 살펴야 정확한 답이 나와요.
착안: V&A, Indian textiles. 계산은 자체 모형이에요.