세 사람이 방과 월세를 나눌 때, 똑같이 내는 것만이 답일까요? CMU는 방 선호와 비용을 함께 조정하는 공정 분할을 소개해요. 다음은 실제 계약과 무관한 자체 계산 사례예요. A,B,C가 방 1,2,3을 하나씩 맡고, 방마다 붙은 월세 p₁,p₂,p₃는 0 이상의 실수로 합이 6입니다. 가치와 월세는 가상 금액 단위예요.
방 1,2,3의 가치는 A에게 (4,1,1), B에게 (3,2,1), C에게 (1,1,4)입니다. 가치에서 그 방의 월세를 뺀 값을 만족값으로 정해요. 각자가 다른 어느 방과 가격의 조합도 더 좋아하지 않는 모든 배정과 월세를 구해 볼까요? 같으면 허용해요.
A,B,C의 방 번호 순서 123,132,213,231,312,321의 가치 합은 10,6,8,3,5,4입니다. 각자의 비교식을 더하면 어떤 배정도 월세 합 6이 빠져요. 따라서 조건을 만족하는 배정은 최대 합 10인 123뿐이에요.
A는 x≤3과 x−y≤3, B는 x≥1과 y≥−1, C는 y−x≤3과 y≤3을 줘요. 일차부등식을 정리하면 다음 영역이에요.
각 월세는 합 6을 이용해 다시 구성해요.
이 영역에서는 p₂≥0, p₁≥5/3, p₃≥2/3이며 모든 비교식을 만족하므로 충분조건도 돼요. 영역의 꼭짓점 (x,y)는 (1,−1),(2,−1),(3,0),(3,3),(1,3)이고 경계와 내부를 모두 포함해요. (3,0,3)처럼 한 방이 무료여도 허용돼요. 반면 똑같이 (2,2,2)를 내면 B가 방 1을 더 좋아해요. 방 배정 하나를 고르는 데서 멈추지 않고, 가능한 가격을 빠짐없이 구성하는 활동이에요.
착안: CMU, Getting your fair share. 방 가치표·조건·증명은 자체 모형이에요.