세 줄을 같은 방식으로 엮은 뒤, 아래 끝을 같은 위치의 위 끝과 색 맞춰 이을 수 있을까요? Bangor의 매듭 전시는 교차에서 한 색 또는 서로 다른 세 색을 허용해요. 다음은 그림의 색 표지만 따지는 자체 활동이에요. 실제 끈을 염색하거나 매듭 종류를 판정하지 않아요.
처음 왼쪽·가운데·오른쪽의 색은 a,b,c입니다. 모든 수는 3으로 나눈 나머지 0·1·2로 읽어요. 위로 지나는 색은 유지해요. 각 교차의 위 조각과 아래의 전후 두 조각은 모두 같은 색이거나 모두 다른 색이어야 해요. 왼쪽 줄이 가운데 위로 가는 L, 이어 오른쪽 줄이 가운데 위로 가는 R을 한 조각으로 정해요.
양의 정수 n만큼 같은 조각을 반복해요. 끝은 같은 위치의 처음과 잇고, 색이 같아야 해요. 처음이 한 색뿐인 경우는 제외해요. 가능한 모든 n과 초기 색 배정을 구해 볼까요?
한 조각 뒤 색은 (2a−b,c,2c−a)입니다. u=b−a,v=c−a를 잡아 절대 색 대신 차이를 따라가 봐요. 따옴표는 한 조각·두 조각 뒤의 차이를 뜻해요.
네 조각 뒤에는 두 차이가 돌아와요. 첫 색의 변화도 −u,−u−v,u,u+v의 합이 0이어서 돌아와요. 두 조각 뒤의 일치에는 u=v=0이 필요하며, 한 조각에서는 v=0 다음 u=0, 세 조각에서도 u=0 다음 v=0이 강제돼요.
따라서 허용 반복수는 4의 양의 배수 전부예요. 이때 초기 색은 곱의법칙으로 27개 중 한 색뿐인 3개를 뺀 24개 전부예요. (0,0,1)처럼 처음에 두 색만 있어도 첫 다른 색 교차에서 셋째 색이 생겨요. 처음부터 세 색이 달라야 한다고 세면 6개만 남겨 답을 놓쳐요.
착안: Colouring Knots 1. 조각·조건·증명은 자체 모형이에요.