모래 무늬가 가운데를 둘러싸려면 두 성분의 비를 어떻게 골라야 할까요? 콜로라도대 시연은 모래가 움직이지 않는 선을 드러낸다고 설명해요. 자체 함수 무늬만 종이에 그려요.
변이 1cm인 정사각형에서 x,y는 변으로 나눈 좌표이며 0<x,y<1입니다. r은 모든 양의 실수인 혼합 계수이고 각도는 라디안이에요. u는 부호 있는 함수값이에요. 판 가장자리는 무늬에서 제외해요. 내부에서 u=0인 점만 그려요. 한 조각이란 그 집합 안에 머무는 연속 경로로 이어지는 점들의 모임이에요.
무늬가 한 폐곡선인 r 전부와 나머지 경우의 조각·빈 영역 수를 찾아보세요. 세 배 각의 사인 공식으로 u를 양수인 sin(πx)sin(πy)와 4Y²+4rX²−1−r의 곱으로 바꿔요. 따라서 다음 타원을 열린 좌표 정사각형 안에서만 취해요. A,B는 그 가로·세로 반지름이에요.
코사인은 각 좌표에서 일대일이며 역변환은 x=arccos(X)/π, y=arccos(Y)/π입니다. 이 연속 변환은 연결을 보존하지만 원래 무늬가 타원이라는 뜻은 아니에요.
A,B가 모두 1보다 작은 1/3<r<3에서만 한 폐곡선이 생겨 빈 영역은 안과 밖 두 개예요. 0<r≤1/3이면 좌우로 뻗는 두 호, r≥3이면 위아래로 뻗는 두 호이며 빈 영역은 세 개예요. 첫 경우는 Y=±√((1+r)/4−rX²)의 두 그래프로 확인하고, 다른 경우는 좌표를 맞바꿔요.
r=1/3과 3에서는 두 호의 끝이 가장자리에서 닿지만 그 점은 제외했으므로 여전히 두 조각이에요. r=1은 폐곡선, r=1/4와 4는 두 호예요. 실제 모래·소리나 원전의 사진을 이 계산의 증거로 삼지 않아요.
착안: Colorado.