단백질 지수가 가장 높은 배합이면, 보정한 양도 가장 많을까요? 가상 재료 A·B를 합쳐 10g 만드는 상황을 생각해 볼까요? A의 식품 질량 x는0부터10까지의 실수이고 B는10−x입니다. 단백질 농도는 각각1/5와1/10g/g입니다.
두 성분의 기준비를 A는(1/2,3/2), B는(2,1/4)로 정해요. 기준비란 단백질1g의 성분량을 같은 성분의 기준량으로 나눈 무단위 값이에요. 실제 식품값이나 모든 아미노산의 영양평가는 아니에요.
총 단백질량 P에서 A의 몫 t로 같은 성분끼리 가중평균해요. 식품의 몫 x/10을 가중치로 쓰면 안 돼요. 지수 q는 두 기준비 중 작은 값이에요.
분모10+x는 양수예요. r₁은 감소하고 r₂는 증가하므로 둘이 같아지는 x=14/3에서 q가 유일하게 최대23/22입니다. 두 유리함수를 비교한 결과예요.
이번에는 지수를1에서 자른 뒤 P를 곱한 교실의 보정량 J를 최대화해 봐요. 지수는 무단위지만 J는 g 단위예요. 양수 P를 각 항에 곱하면
가 돼요. x가30/7 이하이면 마지막 항,30/7부터5까지는 첫 항,5 이상이면 둘째 항이 가장 작아요. 앞 두 구간에서는 J가 증가하고 마지막에서는 감소하므로 x=5만 최대3/2g을 줘요. 두 경계에서 이웃한 식의 값도 같아요.
지수 최대 배합14/3에서는 J=22/15g이라3/2g보다 작아요. 잘라낸 지수만 보면30/7≤x≤5 전체에서1로 같지만, 그중 단백질 총량이 가장 큰 끝점5가 보정량을 골라요. 학생은 식품 질량·단백질 질량·무단위 지수의 열을 나누어 두 답을 검산해요. 실제 섭취량이나 식단을 권하는 계산은 아니에요.
착안: FAO2013의 단백질 기준 혼합 설명. 두 성분·수치·지표는 자체 모형이에요.