꽃 장식은 거울에 비치면 달라도 반 바퀴 돌리면 같을 수 있을까요? Kew는 꽃의 방사대칭과 좌우대칭을 구별해요. 여기서는 실제 꽃잎 대신 두 색 점을 겹친 종이 장식을 만들어요.
파란 점 여섯 개는 반지름1cm인 원 위 각 jπ/3에, 주황 점 열 개는 반지름2cm인 원 위 각 δ+kπ/5에 놓아요. j=0,…,5, k=0,…,9이며 모든 각은 라디안이에요. 두 원의 중심은 원점이고 0≤δ<π/5입니다. 두 색은 바꾸지 않고 점의 자리만 비교해요. 원점 주위 회전과 원점을 지나는 직선에 대한 대칭이동만 허용해요.
모든 δ에서 가능한 회전과 거울축을 전부 찾아, 거울축 없이 반 바퀴 대칭만 남는 δ를 골라 보세요. 회전각 β는 0≤β<2π입니다. 파란 점 하나의 이동각은 π/3의 정수배, 주황 점은 π/5의 정수배여야 해요. i,j를 정수로 두면 공통 회전은 다음뿐이며 역으로 두 색 모두의 자리를 보존해요.
거울축의 방향각 α는 0≤α<π입니다. 각 θ는 반사하면 2α−θ가 돼요. 각0의 파란 점과 각δ의 주황 점을 각각 자기 색의 자리로 보내는 조건은 m,n이 정수인 다음 식이에요. 이 조건이면 나머지 점도 모두 제자리에 와요.
두 식을 빼면 δ=(5m−3n)π/30입니다. 따라서 거울축이 생기는 δ는 kπ/30, k=0,…,5뿐이에요. 역으로 i를 2k를3으로 나눈 나머지라 두면 축은 iπ/6과 iπ/6+π/2의 정확히 두 개예요. 나머지 모든 δ에서는 축이 없어요. 예를 들어 δ=π/60이면 거울축 없이 반 바퀴 회전은 남아요. δ=0이면 축0,π/2가 생겨요. 제외한 δ=π/5는 δ=0과 같은 점 배치예요. 꽃의 모양이나 생물학적 변이를 예측하는 모형은 아니에요.
착안: Kew.