한 변이 2cm인 정사각형 모형 부품 스물네 개를 한 층의 직사각 배열로 담는다고 해 볼까요? 부품 사이의 틈과 포장 두께는 0이라는 가상 모형이에요. 빈칸 없이 모두 담는다면 4행 6열과 3행 8열은 같은 상자를 뜻할까요? 부품 수가 같은 것은 맞지만, 배열이 차지하는 실제 길이는 달라져요.
4행 6열 배열의 바닥은 8cm와 12cm입니다. 3행 8열 배열은 6cm와 16cm입니다. 넓이는 둘 다 부품 스물네 개의 넓이 합인 96제곱cm입니다. 그러나 바닥 둘레는 다음처럼 달라요.
같은 물건 수가 같은 테두리 길이를 보장하지 않아요.
한 층에 빈칸 없는 배열을 만들려면 행 수와 열 수의 곱이 24여야 해요. 1과 24, 2와 12, 3과 8, 4와 6이 회전을 같은 모양으로 본 네 쌍이에요. 네 쌍의 바닥 둘레를 비교하면 4와 6의 배열이 가장 작아요. 하지만 선반의 깊이가 7cm라면 8cm 깊이인 배열은 들어가지 않을 수 있어 가장 작은 둘레가 늘 최선은 아니에요.
부품 수를 맞추는 조건과 포장 치수를 맞추는 조건은 함께 확인해야 해요. 회전을 허용하는지도 실제 선반에서는 중요해요. 이번 계산은 한 층 격자와 틈 없는 정사각 부품에 한정해요. 같은 총량이라도 모양이 달라지면 폭과 깊이, 필요한 테두리 재료가 바뀐다는 점을 행과 열의 약수쌍으로 설명할 수 있어요. 포장 모양을 고를 때 가장 작은 둘레와 선반에 맞는 폭은 따로 확인할 기준이에요.
참고한 수학 개념: NRICH · Sweets in a Box.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.