가상 공방에서 부품을 다섯 개씩 한 묶음으로 포장해요. A상자에는 다섯 개씩 묶고 나면 두 개가 남고, B상자에는 세 개가 남는다고 적혀 있어요. 부품은 모두 같은 종류이고 두 상자의 부품을 섞어도 된다고 가정해요. 정확한 총개수를 몰라도 남는 부품 없이 다시 포장할 수 있는지 판단할 수 있을까요?
A상자의 개수는 다섯 개짜리 묶음들과 여분 두 개로 나뉘어요. B상자도 묶음들과 여분 세 개로 나뉘어요. 이미 완성된 묶음은 그대로 두고 여분만 합치면 다음과 같아요.
새로운 묶음 하나가 생겨 남는 부품이 없어요. 따라서 두 상자의 총개수는 5의 배수예요. 전체가 몇 개인지는 몰라도 포장 가능 여부는 정해져요.
예를 들어 A가 17개, B가 23개라면 합은 40개로 여덟 묶음이에요. A가 32개, B가 48개여도 합은 80개로 열여섯 묶음이 돼요. 총수와 묶음 수는 서로 다르지만 여분이 없어지는 성질은 같아요. 반대로 나머지가 두 개와 두 개라면 여분은 네 개라서 하나의 새 묶음을 완성할 수 없어요.
나머지는 총개수를 모두 보존하는 정보가 아니에요. 하지만 묶음 단위와 관련된 특정 판단에는 충분한 정보예요. 두 상자를 섞지 못한다는 조건이라면 이번 결론도 달라져 각 상자에 여분이 남아요. 무엇을 알고 싶은지와 합쳐도 되는지를 정한 뒤 나머지를 더하면, 큰 수를 일일이 계산하지 않고도 필요한 포장 판단을 할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Elevenses.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.