길이 3칸짜리 가상 장식을 조각으로 채워요. 매번 1칸 조각과 2칸 조각 중 하나를 각각 절반의 확률로 고르며, 선택은 서로 독립이에요. 지금까지 고른 길이의 합이 3 이상이 되면 즉시 멈춰요. 합이 정확히 3이면 성공이고 넘으면 실패예요. 성공 배열이 세 가지라면 각각 같은 확률로 만들어질까요?
성공 배열은 1,1,1과 1,2와 2,1입니다. 첫 배열에는 세 번의 선택이 필요하므로 그 확률은 1/8입니다. 뒤의 두 배열에는 선택이 두 번씩 필요해서 각각 1/4입니다.
배열을 하나씩 적을 수 있다는 사실과 같은 확률로 생성된다는 사실은 달라요.
성공 확률은 세 배열의 확률을 더한 5/8입니다. 성공한 기록만 모아 보면 1,1,1이 차지하는 비중은 1/5이고, 1,2와 2,1은 각각 2/5입니다. 실패는 2,2로 합이 4가 되는 경우와 1,1,2로 합이 4가 되는 경우예요. 종료된 모든 기록의 확률을 더하면 1이 되어 목록을 검산할 수 있어요.
처음부터 세 성공 배열 중 하나를 같은 확률로 뽑는 절차라면 각각 1/3이 돼요. 그러나 이번에는 조각을 한 번씩 고르고 목표에 닿으면 멈추므로 절차가 달라요. 가능한 결과의 개수를 세는 일은 출발점이지만, 무작위 실험의 확률을 알려면 어떻게 결과가 만들어지는지도 알아야 해요. 짧은 배열이 더 쉽게 나오는 이유가 바로 선택 횟수에 있어요. 각 선택은 반반이어도,최종 목록의 항목이 반반으로 나뉘는 것은 아니에요.
참고한 수학 개념: NRICH · 1 Step 2 Step.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.