두 물품을 동시에 주문하는 가상 배송 모형을 생각해요. A물품은 1시간 또는 3시간 뒤, B물품은 2시간 또는 4시간 뒤 도착해요. 각 물품의 두 시간은 같은 확률이고 A와 B의 도착시간은 서로 독립이라고 가정해요. 실제 배송 예측이 아닌 작은 확률 모형이에요. 각 배송의 평균을 먼저 구해 큰 쪽을 고르면 모두 받는 평균 시간이 될까요?
가능한 기록은 A와 B의 시간을 함께 적은 네 쌍이에요. 1과 2이면 완료는 2시간, 1과 4이면 4시간이에요. 3과 2이면 3시간, 3과 4이면 4시간이에요. 각 물품이 동시에 출발했으므로 두 번째 물품을 기다리는 시간은 첫 물품을 받은 뒤 새로 시작하지 않아요. 두 시간 중 큰 쪽을 고르면 돼요.
네 기록은 같은 확률로 발생하며, 완료시각은 각각 2, 4, 3, 4시간이에요. 4시간 걸릴 확률은 절반이고 평균 완료시간은 다음과 같아요.
이는 3시간 15분이에요. A의 평균 2시간과 B의 평균 3시간을 더한 5시간은 두 배송을 차례로 진행하는 시간 합에 대응할 뿐, 이번 동시 주문의 완료시간은 아니에요.
가능한 개별 시간만 보고 합을 쓸지 큰 값을 쓸지 결정할 수는 없어요. 생활에서 완료라는 말이 어떤 조건을 뜻하는지 정하고, 기록별로 그 조건을 적용해야 올바른 평균과 확률을 얻어요. 두 개별 평균의 큰 쪽은3시간이지만 완료 평균은3.25시간이에요. 기록마다 늦은 쪽을 고른 뒤 평균해야 하며,평균을 먼저 구한 뒤 고르는 순서를 바꿀 수 없어요.
참고한 수학 개념: NRICH · Nine or Ten?.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.