작은 정사각 액자의 모서리를 작업대에 표시하는 가상 예시예요. 좌표 단위는 1cm이며 마주 보는 두 꼭짓점 A=(0,0), C=(6,2)를 먼저 표시했어요. A와 C를 잇는 선은 액자 변이 아니라 대각선이에요. 정사각형은 두 대각선의 길이가 같고, 서로 직각이며, 같은 중점에서 만나요.
대각선 AC의 중점은 M=(3,1)입니다. M에서 C로 가는 이동은 가로 3, 세로 1입니다. 이 이동을 90도 돌리면 가로 -1, 세로 3으로 바뀌어요. 따라서 다른 대각선의 한 끝은 M에 그 이동을 더한 B=(2,4), 반대 끝은 뺀 D=(4,-2)입니다.
A에서 B로 가는 이동은 (2,4)이고 B에서 C로 가는 이동은 (4,-2)입니다. 두 변의 길이 제곱은 모두 20입니다. 두 이동의 곱을 성분별로 더하면 2 곱하기 4에 4 곱하기 -2를 더해 0이므로 두 변은 직각이에요. 나머지 두 변도 같은 길이로 이어져 정사각형 조건을 만족해요.
대각선 길이 제곱은 6의 제곱과 2의 제곱을 더한 40이므로 표시한 네 꼭짓점이 둘러싼 정사각 영역의 넓이는 그 절반인 20제곱센티미터예요. 음수 좌표인 모서리도 기준선 아래에 있다는 뜻일 뿐 잘못된 점은 아니에요. 기준선 방향을 고정한 채 중점을 중심으로 방향을 돌리는 것이 복원의 핵심이에요.
수학 개념 참고: NRICH · Complete the Square.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.