가상 보관함의 표찰 번호가108부터113까지 하나도 빠짐없이 이어져요. 번호는 정수이며 각 번호를 한 번씩만 사용해요. 여섯 표찰을 모두 더하지 않고 평균을 구할 수 있을까요? 또 어떤 연속 정수 표찰 묶음의 평균이 반쪽 소수로 끝난다면 표찰 수가 홀수인지 짝수인지 알 수 있을까요?
양끝을 짝지으면108과113,109와112,110과111의 합이 모두221입니다. 각 쌍의 평균은110.5이므로 전체 평균도 같아요.
가운데 한 정수가 아니라110과111 사이가 중심이에요. 번호 자체에 반쪽 정수가 없어도 평균이 반쪽으로 나오는 데 모순은 없어요.
표찰이107부터113까지 일곱 개였다면 양끝107과113의 평균은110이고 가운데 실제 표찰도110입니다. 연속 정수가 홀수 개면 가운데 정수가 있으며 평균이 그 정수와 같아요. 짝수 개면 가운데 두 정수는 하나 차이이므로 그 평균은 항상 반쪽 소수예요. 따라서 조건을 모두 지킨 묶음에서 평균이110.5라면 개수는 짝수예요. 정확히 몇 개인지는 추가 정보가 필요해요.
반쪽 평균에서 개수가 짝수라는 결론은 연속 여부나 중복 여부와 관계없이 동일 가중치의 정수 자료에 성립해요. 합계 S가 정수이고 평균이 정수 k에 반을 더한 값이면
입니다. 왼쪽이 짝수이고 오른쪽의 괄호는 홀수라 자료 수 n이 짝수여야 해요. 반면 짝수 개라는 정보에서 반쪽 평균을 보장하는 역방향이나 양끝 평균 공식에는 연속 조건이 필요해요. 예를 들어8과10은 두 정수지만 평균9입니다. 이번 가상 표찰에서는 연속성을 이용한 빠른 계산과 평균 모양만으로 가능한 일반 추론을 구별해야 해요.
참고한 수학 개념: NRICH · Consecutive Numbers.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.