가상의 조명 장치에는 불 네 개가 있고 처음에는 모두 꺼져 있어요. 버튼을 한 번 누를 때 서로 다른 불 두 개를 골라 각각의 상태를 뒤집습니다. 켜진 불은 끄고 꺼진 불은 켜요. 같은 불 하나를 두 번 고르는 동작은 허용하지 않아요. 이 버튼을 여러 번 눌러 마지막에 불 하나만 켠 상태를 만들 수 있을까요?
선택한 두 불이 모두 꺼져 있으면 켜진 수가 둘 늘고, 둘 다 켜져 있으면 둘 줄어들어요. 하나만 켜져 있으면 하나를 끄는 대신 다른 하나를 켜므로 개수가 그대로예요.
어떤 동작도 켜진 개수의 홀짝을 바꾸지 않아요. 처음 개수 영은 짝수이므로 이후 개수도 언제나 짝수예요.
목표인 한 개는 홀수이기 때문에 버튼 순서와 횟수를 아무리 바꿔도 만들 수 없어요. 가능한 목표의 예로는 특정 두 불만 켜기가 있어요. 그 두 불을 한 번 뒤집으면 돼요. 네 불을 모두 켜는 것도 서로 겹치지 않는 두 쌍을 차례로 뒤집으면 돼요. 불가능하다는 판정과 모든 짝수 상태가 가능한지라는 다른 질문을 섞지 않고 각각 이유를 확인했어요.
불 하나만 뒤집는 새 버튼을 추가하면 홀짝 보존이 깨져 목표를 만들 수 있어요. 따라서 불가능하다는 결론은 이번 동작 규칙 안에서만 성립해요. 사진 속 조명은 가상 장치의 정확한 배선도가 아니에요. 많은 시도를 하지 않고도 변하지 않는 양을 찾으면 작업의 한계를 판단할 수 있어요. 원래 상태의 홀짝과 목표의 홀짝이 다를 때에는 더 긴 시도 목록보다 허용 동작 자체를 바꿔야 하는지 생각해 보세요.
참고한 수학 개념: NRICH · Make 37.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.