가상 모임 두 곳이 찬성 비율을 조사해요. 작은 모임은 전체 100명 중 100명 모두에게 정확히 응답받습니다. 큰 모임은 전체 10,000명 중 서로 다른 100명을 가능한 모든 조합에서 균등하게 뽑아 정확히 응답받습니다. 계산 모형에서는 두 모임의 실제 찬성 비율 p가 모두 0.5라고 해 볼까요? 조사한 사람 수가 같으므로 비율의 추출 오차도 같을까요?
작은 모임은 전수 조사예요. 빠진 사람이 없으므로 조사에서 찬성은 정확히 50명이고 비율도 50%입니다. 이 조건에서는 누구를 뽑았느냐에 따른 흔들림이 없어요. 큰 모임은 뽑힌 100명의 구성이 바뀌면서 찬성 수도 달라질 수 있어요. 표본 수만 적으면 전수와 일부 표본이라는 차이를 놓쳐요.
전체 인원 N에서 n명을 단순 무작위로 비복원 추출할 때 표본 비율의 분산은 다음과 같아요. 분산은 이런 추출을 반복한다고 생각할 때 비율이 실제 p 주위에서 얼마나 흔들리는지 나타내요.
N=n=100이면 뒤의 분자가 0이어서 분산은 0입니다. N=10,000, n=100이면 분산은 0.0025×9,900÷9,999로 약 0.002475입니다. 제곱근인 표준편차는 약 0.04975, 즉 비율에서 약 4.98퍼센트포인트예요. 같은 100명이라는 말로 두 조사에 같은 추출의 흔들림을 붙일 수 없어요.
여기서 0이라고 한 것은 추출 오차예요. 질문을 잘못 이해하거나 응답이 틀리는 오차까지 없다는 뜻은 아니에요. 또한 실제 조사에서는 p를 모르므로 관측값으로 근사하는 과정이 따로 필요해요. 이 예시는 알려진 p를 놓은 가상 계산이며, 조사 설계나 실제 여론에 대한 결과가 아니에요. 표본 수와 함께 전체 인원, 추출 방법, 응답 조건을 기록해야 숫자의 정확한 뜻을 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: NRICH · A Well-Stirred Sample.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.