가상의 조명 장치를 설치한 뒤 3년이 지났을 때 처음 설치한 것의 80%가 계속 작동했다고 해 볼까요? 고장 난 장치는 다시 살아나지 않아요. 매년 초에 작동 중인 장치가 그해 말까지 버틸 확률이 같은 값 p라는 모형을 사용해요. 이때 p도 80%라고 적어도 될까요? 여기서 한 해의 비율은 이미 살아남은 장치만 분모로 삼는 조건부 비율이에요.
첫해에는 전체의 p가 남고, 둘째 해에는 그중 다시 p가 남아요. 셋째 해까지 작동하는 비율은 p×p×p입니다. 따라서 p³=0.8을 풀어야 하며, p는 약 0.9283, 즉 92.83%입니다. 연간 통과율을 80%로 잘못 넣으면 3년 뒤 비율은 0.8³=0.512, 곧 51.2%가 되어 주어진 기록과 맞지 않아요.
연간 모형이 맞다면 처음 장치 1,000개 중 첫해 말에는 평균적으로 약 928개, 둘째 해 말에는 약 862개, 셋째 해 말에는 800개가 남는다고 예측해요. 이 수들은 반드시 그만큼 남는다는 보장이 아니라 모형이 말하는 평균적인 규모예요. 매년 같은 확률이라는 조건을 빼면 첫해 100%, 둘째 해 100%, 셋째 해 80%도 같은 최종 기록을 만들 수 있어요.
그러므로 최종 80% 하나만으로 매년의 실제 통과율을 알 수는 없어요. 같은 조건부 확률이 반복된다는 가정을 세웠을 때에만 세제곱근으로 한 해의 값을 찾습니다. 수치와 장치는 모두 계산을 위한 가상 설정이에요. 작동 비율을 기록할 때는 최초 설치 집단의 누적 비율인지, 그해 초까지 남은 집단의 통과율인지 기간과 분모를 함께 적어야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Very Old Man.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.