여섯 칸이 일렬로 놓인 가상 선반에 서로 다른 책 여섯 권을 무작위로 꽂습니다. 모든 완성 배열이 같은 확률이며 바로 옆 칸에 있을 때만 이웃이라고 불러요. 책 A가 맨 왼쪽 칸에 있다는 사실을 이미 보았어요. 책 B가 A의 이웃일 확률도 A가 가운데 칸에 있을 때와 같을까요? 비어 있는 다섯 칸에서 B의 위치는 각각 같은 확률이에요.
A가 첫 칸이면 이웃 칸은 둘째 칸 하나뿐이에요. 따라서 B가 이웃할 조건부 확률은 1/5입니다. A가 셋째 칸에 있다면 둘째 칸과 넷째 칸 두 곳이 이웃이어서 2/5입니다. 두 경우 모두 B가 들어갈 자리는 다섯 곳이지만, 성공으로 세는 자리 수가 달라요. 끝 칸의 경계가 가능한 이웃 하나를 없앱니다.
A의 위치를 아직 보지 않았다면 여섯 위치를 다시 평균 내야 해요. 양 끝 두 칸의 이웃 수는 하나씩, 안쪽 네 칸은 두 개씩이므로 전체 확률은 (1+2+2+2+2+1)/(6×5)=1/3입니다. 이 값은 관측 전에 쓰는 값이에요. 끝 칸에 있다는 새 정보를 받은 뒤에도 1/3을 그대로 쓰면 이미 알게 된 위치 조건을 버리는 셈이에요.
책과 선반은 계산을 위한 가상 사례예요. 책의 제목이나 두께는 확률에 영향을 주지 않도록 설정했어요. 실제 정리에서 큰 책을 특정 칸에만 넣는다면 무작위 배열이라는 가정부터 달라져요. 인접 확률을 비교할 때에는 같은 공간에 놓였다는 말만 볼 것이 아니라, 경계 위치를 알았는지와 남은 칸이 같은 확률인지 함께 확인해야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Two's Company.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.