가상 추첨 봉투에 당첨 카드 한 장과 빈 카드 네 장이 들어 있어요. 크기와 촉감은 같으며 어느 카드나 같은 확률로 뽑혀요. 진행자가 한 장을 무작위로 꺼내 내용을 보이지 않은 채 버린 뒤, 참가자가 남은 네 장에서 한 장을 뽑아요. 카드 한 장이 줄었으니 참가자의 당첨 확률이 무조건 높아지거나 낮아질까요?
버린 카드가 당첨일 확률은 1/5이고, 이 경우에는 참가자가 이길 수 없어요. 버린 카드가 빈 카드일 확률은 4/5이며, 이때 남은 네 장 중 하나가 당첨이에요. 따라서 내용을 모르는 참가자의 당첨 확률은 (1/5)×0+(4/5)×(1/4)=1/5입니다. 제거하지 않고 처음 다섯 장에서 뽑는 확률과 같아요.
다만 제거한 내용을 공개하면 판단이 달라져요. 빈 카드를 버렸다는 사실을 알면 당첨 확률은 1/4이고, 당첨 카드를 버렸다는 사실을 알면 0입니다. 공개 전의 1/5는 두 경우를 그 발생 비율로 합친 값이에요. 이미 빈 카드임을 확인한 경우에 다시 1/5을 쓰거나, 확인하지도 않았는데 1/4을 쓰면 서로 다른 정보 조건을 섞습니다.
이 절차와 수치는 모두 가상이에요. 진행자가 내용을 보고 빈 카드만 골라 버린다면 항상 당첨 카드가 남으므로 1/4이 맞아요. 그 절차는 보지 않는 무작위 제거와 달라요. 카드 수만 줄었다는 설명으로는 확률의 변화를 정할 수 없어요. 무엇을 보고 어떤 규칙으로 제거했는지, 참가자에게 어느 정보가 공개되었는지가 계산의 일부예요.
수학 개념 참고: NRICH · In a Box.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.