가상의 부품 검사에서 한 번 검사하면 확률 75%로 판정이 끝나고, 25%로 보류되어 다시 검사해요. 각 검사는 독립이며 매번 조건이 같아요. 한 부품은 최대 세 번까지 검사하고, 판정이 나오면 즉시 멈춰요. 세 번이 허용되므로 부품 하나당 평균 검사 횟수도 세 번일까요? 여기서는 판정의 내용이 통과인지 탈락인지와 관계없이 판정이 나면 종료해요.
첫 검사는 모든 부품에 필요해요. 둘째 검사는 첫 검사에서 보류된 1/4에만 필요해요. 셋째 검사는 앞의 두 번이 모두 보류인 (1/4)²=1/16에만 필요해요. 따라서 실제 소요 횟수의 평균은 1+1/4+1/16=21/16, 즉 1.3125회예요. 검사 단계마다 그 단계에 도착한 비율을 더하면 평균 소요 횟수를 셀 수 있어요.
같은 값을 종료 시점으로 확인할 수 있어요. 한 번으로 끝날 확률은 3/4, 두 번으로 끝날 확률은 (1/4)×(3/4)=3/16입니다. 세 번을 쓰는 확률은 1/16입니다. 셋째 판정이 나든 마지막도 보류이든 실제 검사 횟수는 셋이에요. 따라서 1×3/4+2×3/16+3×1/16도 21/16으로 같아요. 세 번 뒤까지 미판정일 확률은 (1/4)³=1/64입니다.
이 수치는 검사 능력이나 실제 불량률을 설명하는 관측 자료가 아니라 가상 모형이에요. 검사 한 번에 4분이 걸리면 평균 소요 시간은 4×21/16=5.25분이고, 가장 오래 걸리는 시간은 12분이에요. 둘은 서로 다른 계획 지표예요. 또한 판정 여부가 반복마다 독립이라는 조건이 없으면 보류 확률을 거듭제곱할 수 없어요. 세 번까지 한다는 상한을 모든 부품의 실제 횟수로 바꾸어 읽지 않아야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Odds or Sixes?.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.