가상의 두 장치가 각각 0 또는 2를 내고 두 값을 더해요. A설정에서는 각 장치가 0과 2를 같은 확률로 내요. B설정에서는 각 장치가 0을 1/4, 2를 3/4의 확률로 내요. 어느 설정에서도 두 장치의 출력은 독립이에요. 합의 최솟값은 0, 최댓값은 4이므로 두 설정의 결과 확률도 같다는 주장은 맞을까요?
A설정의 순서쌍 (0,0), (0,2), (2,0), (2,2)는 각각 확률 1/4입니다. 합 0, 2, 4의 확률은 1/4, 1/2, 1/4입니다. B설정에서는 합 0이 (1/4)²=1/16, 합 4가 (3/4)²=9/16입니다. 합 2는 두 순서를 합쳐 2×(1/4)×(3/4)=6/16입니다. 같은 합 목록이라도 그 목록에 놓인 확률은 달라요.
두 분포 모두 가능한 결과는 정확히 0, 2, 4입니다. 최솟값과 최댓값은 결과가 어디까지 갈 수 있는지 알려 주지만, 중간 값이나 끝 값이 얼마나 자주 나오는지는 알려 주지 않아요. B설정에서는 큰 출력이 더 흔해서 합 4가 가장 가능성이 커요. A에서는 합 2가 가장 흔해요. 가장 가능성이 큰 결과도 범위의 양끝만으로 정해지지 않아요.
숫자와 장치는 모두 가상이에요. 모든 가능한 결과를 한 번씩 나열했다고 해서 각 결과에 같은 확률을 붙일 수는 없어요. 개별 출력의 비율을 알고 독립 조건을 확인한 뒤, 같은 합을 만드는 순서쌍의 확률들을 더해야 해요. 범위 정보가 같다는 사실과 전체 분포가 같다는 사실을 구분하면 장치 비교에서 필요한 자료가 무엇인지 분명해져요. 같은 값이 가능하다는 사실을 같은 빈도로 나온다는 말로 바꾸지 않는 것이 이 비교의 핵심이에요.
수학 개념 참고: NRICH · Which Spinners?.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.