가상의 접수 장치가 새 예약마다 번호 0, 1, 2 중 하나를 같은 확률로 부여해요. 새 번호는 이전 결과와 독립이며 과거 번호는 모두 보관해요. 지금 두 건의 기록을 확인했는데 한 장부는 0, 0이고 다른 장부는 0, 1입니다. 기록이 두 건으로 같으니 다음 예약이 기존 번호와 겹칠 확률도 같을까요? 겹침은 이전에 한 번이라도 사용한 번호를 다시 받는다는 뜻이에요.
첫 장부가 사용한 서로 다른 번호는 0 하나뿐이에요. 다음 번호가 0이면 겹치고 1이나 2이면 새 번호이므로 중복 확률은 1/3입니다. 둘째 장부는 0과 1을 사용했어요. 다음 번호가 둘 중 하나이면 겹치므로 확률은 2/3입니다. 과거 접수 건수는 둘 다 두 건이지만 현재 차지한 번호의 종류 수가 달라 다음 중복 가능성도 달라요.
첫 장부에 0 한 건을 더 기록해 0, 0, 0이 되었다면 건수는 셋으로 늘어도 사용한 번호는 여전히 한 종류예요. 그 상태에서 다음 중복 확률은 계속 1/3입니다. 반면 둘째 장부에 2가 더해져 0, 1, 2가 되면 세 종류가 모두 사용되어 다음 번호는 반드시 기존 번호와 겹쳐요. 중복 기록을 추가한 것과 빈 번호 하나를 새로 차지한 것은 서로 다른 상태 변화예요.
번호와 장부는 모두 가상이에요. 균등하게 고르는 번호가 세 종류라는 조건 아래 현재 사용한 종류 수를 k라 하면 다음 중복 확률은 k/3입니다. 이전 번호가 만료되어 삭제되는 절차라면 아직 보관한 번호 집합을 다시 세어야 해요. 번호마다 선택 확률이 다르면 종류 수만으로도 답이 정해지지 않아요. 다음 중복을 예측할 때는 장부 줄 수보다 어떤 번호들이 남아 있는지 확인해야 해요.
수학 개념 참고: NRICH · Same Number!.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.