가상의 행사에서 후보 카드 다섯 장을 두 상자에 나눠요. 작은 상자에는 A·B 두 장, 큰 상자에는 C·D·E 세 장이 있어요. 먼저 상자를 각각 1/2 확률로 고르고, 선택한 상자 안에서 한 장을 같은 확률로 뽑아요. 모든 후보가 공평하게 1/5씩 뽑히는 방법일까요? 카드의 크기나 모양으로 선택할 수 없도록 설정해요.
A나 B 한 장이 뽑힐 확률은 (1/2)×(1/2)=1/4입니다. C·D·E 각각은 (1/2)×(1/3)=1/6입니다. 작은 상자의 후보는 큰 상자의 후보보다 1.5배 자주 뽑혀요. 각 단계가 그 단계 안에서는 공평해 보여도 두 단계가 합쳐진 전체 개인 선택은 균등하지 않아요. 같은 상자 선택 기회를 서로 다른 카드 수로 나누기 때문이에요.
다섯 후보를 같은 확률로 만들려면 작은 상자를 2/5, 큰 상자를 3/5의 확률로 고르면 돼요. 작은 상자 후보는 (2/5)×(1/2)=1/5, 큰 상자 후보는 (3/5)×(1/3)=1/5입니다. 상자 선택을 크기에 비례하게 바꾸거나, 처음부터 다섯 장을 한 상자에 넣어 뽑으면 같은 개인 선택률을 얻어요.
카드와 추첨은 모두 가상이에요. 상자끼리 공평한 추첨을 만들려는 목표와 후보 개인끼리 공평한 추첨을 만들려는 목표는 달라요. 한 상자를 고른 뒤 또 뽑는 절차에서는 단계별 확률을 곱해 각 최종 후보의 가능성을 확인해야 해요. 작은 묶음에 속했다는 이유만으로 유리해지는지까지 계산하면, 반반이라는 말이 실제로 누구 사이의 공평함인지 분명해져요.
수학 개념 참고: NRICH · Teams.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.