작은 전시용 회전판을 떠올려 볼까요? 판을 반시계 방향으로 90도 돌릴 때, 가운데 가까운 표식과 가장자리 표식은 똑같이 움직일까요? 두 표식이 지나간 길과 시작·끝 사이의 직선거리를 구별하면 답이 보여요. 다음 치수는 설명을 위한 가상 값이에요.
중심을 원점으로 두고 좌표 단위는 cm로 정해요. 표식 A는 (3,0), B는 (6,0)에 있어요. 회전 뒤 위치는 각각 A′=(0,3), B′=(0,6)입니다. 한 점의 처음과 끝을 잇는 선은 직각삼각형의 빗변이므로 두 직선거리는 다음과 같아요.
따라서 B의 직선 이동량은 A의 두 배예요. 실제로 판을 따라 지난 원호 길이도 A는 3π/2cm, B는 3πcm입니다. 다만 직선거리와 원호 길이는 서로 같은 양이 아니에요. 표식의 궤적을 보고 어떤 거리를 측정했는지 먼저 정해야 해요.
회전은 판을 늘리지 않아요. A와 B 사이의 거리는 회전 전 3cm이고 후에도 3cm입니다. ‘모양이 그대로다’라는 말은 물체 내부의 길이를 보존한다는 뜻이에요. 모든 점이 시작점에서 똑같은 거리에 도착한다는 뜻까지 포함하지는 않아요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Rigid Transformations.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.