정육각 타일은 세 개의 꼭짓점을 모으면 빈틈없이 이어져요. 그렇다면 네모난 공예판도 같은 타일로 잘라 쓰지 않고 덮을 수 있을까요? 가상 계획에서 판은 직사각형이고, 같은 크기의 정육각 타일만 사용해요. 판 밖으로 튀어나오거나 틈을 남기거나 타일끼리 겹치는 것은 허용하지 않아요.
정육각형의 한 내각은120도예요. 내부의 타일 꼭짓점에서 세 개가 만나면 한 바퀴360도를 채워요. 이는 넓은 평면에 이어 붙일 수 있다는 조건이에요.
그러나 직사각형 판의 모서리는90도예요. 그 모서리를 덮는 타일이 있다면, 타일의 어느 부분이 닿는지 확인해야 해요. 모서리가 타일 내부에 있으면 주변360도를 차지해서 판 밖으로 나가요. 타일 변의 중간에 놓이면 그 주변에서180도를 차지하므로 역시90도 안에 들어가지 않아요.
마지막으로 판 모서리가 타일 꼭짓점에 놓여도 타일은120도를 차지해요. 회전해서 방향을 바꾸더라도 각의 크기는 같아요. 타일 하나만으로 이미 허용된90도를 넘으므로 여러 개를 더 모아 해결할 수도 없어요.
따라서 이 조건의 직사각형 판은 정육각 타일만으로 완전히 덮을 수 없어요. 내부에서 잘 이어진다는 사실은 외곽까지 맞는다는 보장이 아니에요. 절단을 허용하거나 가장자리 틈을 별도로 처리한다면 다른 계획이지만, 여기서 계산한 것은 자르지 않고 정확히 덮는 배치예요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Tessellations.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.