물통 두 칸 A와 B에 각각 물 1L가 있어요. 가상 색소량을 농도 숫자로 표시하여 처음 A는 8, B는 0이라고 해 볼까요? 실제 색소의 물리 단위나 확산 속도를 측정한 예는 아니에요. 각 칸은 잘 섞여 있고, 한 단계마다 각 칸 물의 4분의 1을 동시에 상대 칸으로 옮긴 뒤 다시 섞습니다. 부피는 단계마다 1L로 유지돼요.
단계 전 농도를 a,b, 단계 뒤 농도를 a′,b′로 쓰면 갱신 식은 다음과 같아요. 두 식 모두 이전 단계의 값을 사용해요.
처음에는 (8,0)이 (6,2)가 되고, 다음에는 (5,3)이 돼요. a′+b′=a+b=8이므로 동일 부피의 두 칸에 든 전체 색소량은 보존돼요. 반면 농도 차이를 d=a−b라고 쓰면 d′=d/2입니다. 처음 차이 8은 두 단계 뒤 2로 줄어들어요.
이것이 한 단계에서 둘 다 평균 4로 바뀐다는 뜻은 아니에요. 유한한 N단계 뒤 차이는 8/2^N이라 여전히 양수예요. 멀리 있는 곳까지 색이 즉시 똑같아진다고 생각하는 대신, 보존되는 양과 조금씩 줄어드는 차이를 따로 읽어야 해요. 연속 확산을 단순화한 두 칸 모형의 해석이에요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Diffusion.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.