조율기가 입력 소리를 두 기준음 중 하나로 맞춘다고 해 볼까요? 가상의 기준 진동수는 200Hz와 300Hz이고, 입력 진동수 는 그 사이의 양수예요. Hz는 1초 동안의 진동 횟수예요. 이 장치의 거리 규칙은 진동수 비의 자연로그 절댓값, 즉 로 정해요. 실제 조율기 전체가 이 두 음만 쓰거나 이 규칙을 구현한다는 뜻은 아니에요.
선택이 바뀌는 경계에서는 두 기준음까지의 거리가 같아요. 입력이 200과 300 사이여서 양쪽 로그의 부호를 알고 있으므로 다음처럼 쓸 수 있어요.
경계는 약 244.949Hz입니다. 그보다 낮으면 200Hz, 높으면 300Hz가 더 가까워요. 경계에서 두 거리가 같으면 어느 쪽을 고를지는 추가 규칙이 필요해요. 입력 245Hz에서는 , 이고 로그가 증가하므로 300Hz 쪽 거리가 조금 더 작아요.
진동수 차이만 재면 245는 200에서 45Hz, 300에서 55Hz 떨어져 200Hz 쪽이 가까워요. 차이 거리의 경계는 250Hz여서 비율 거리의 경계와 달라요. 같은 입력이라도 무엇을 거리로 정의했는지에 따라 선택이 달라져요.
음높이 간격을 비로 다루는 모형에서는 경계를 기하평균으로 찾을 수 있어요. 두 값을 그냥 더해 반으로 나누기 전에, 비교하려는 양이 진동수의 차이인지 비율인지 확인해야 해요. 수학의 거리 정의가 장치의 판단 규칙을 결정하는 작은 사례예요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Scale Lab.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.