작은 소리 둘을 섞었는데, 녹음 한도를 넘을 수 있을까요?

녹음 장치가 받아들이는 값의 범위를 $-1$부터 1까지로 정하겠습니다. 각각 이 범위 안에 있는 두 소리를 더해도 안전할까요? 가상 합성에서 시간 $t$는 초, 진동수 $f$는 1초당 진동 횟수인 Hz이고 $f>0$입니다. 첫 파형은 $a(t)=0.8\sin(2\pi ft)$, 둘째는 $b(t)=0.5\sin(4\pi ft)$입니다. 값은 단위 없는 장치 입력값이며, 실제 스피커의 음압이나 청력 기준과 관련된 수치는 아니에요.

각 파형의 절댓값은 0.8과 0.5 이하예요. 그러나 두 파형을 더한 $s(t)$의 값이 항상 1 이하인 것은 아니에요. $t=1/(6f)$인 순간 두 사인의 값은 모두 $\sqrt3/2$입니다.

따라서 이 순간에는 한도를 넘어요. 한도를 넘는 값을 장치가 잘라 저장하면 원래 합성 파형이 변해요. 두 입력이 각각 안전하다는 사실만으로 합이 안전한 것은 아니에요.

모든 시점의 안전을 간단히 보장하려면 $|a+b|\le|a|+|b|\le1.3$을 이용할 수 있어요. 전체를 양의 비율 $k=1/1.3=10/13$로 줄이면 돼요.

이 비율은 손쉽게 얻는 충분한 설정이에요. 두 파형의 정확한 최댓값을 구해 가장 크게 남길 수 있는 비율까지 최적화한 답은 아니에요. 한 시점으로 위험을 증명하는 계산과, 모든 시점을 덮는 상한으로 안전을 보장하는 계산의 역할이 다르다는 점을 보여줘요.

참고한 수학 개념: IMAGINARY · The Spectrum of Sound – Synthesizer.

이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.